高等数学3.5函数最大值和最小值

高等数学主讲人宋从芝河北工业职业技术学院本讲概要3.5函数的最大值和最小值闭区间上连续函数的最值某区间内有唯一极值点实际问题在开区间内有唯一驻点一.闭区间上连续函数的最值存在性设函数f(x)在[a,b]上连续在闭区间上一定有最大值和最小值。oxybaoxyaboxyab可能的最值点端点极值点驻点不可导点(尖点)可能的最值点（闭区间连续函数求最值）方法一的步骤:①求驻点和不可导点；②求区间内的端点、驻点和不可导点的函数值；③比较函数值的大小。2369f(x)xx()0,fx令11,x得驻点例1求函数在[-2,2]上的最大值与最小值。323930fxxxx解函数f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内可导3(1)(3)xx23x（舍）比较函数值，135,f228,f28f则f(x)在[-2,2]上135,f最大值为28f最小值为。练习求函数在[-2,0]上的最大值与最小值。3226187fxxxx（函数在某区间内有唯一极值点x0）方法二:yfxOa0xb0fxOyfxa0xb0fx二.某区间内有唯一极值点当x0是极大值点时，就是该区间上的最大值点;当x0为极小值点时，即为该区间上的最小值点。例2求函数的最大值。解264yxx,函数的定义域为因为函数在定义域内有唯一的极大值点，则函数的极大值5y26,yx2y0y令，=3x解得32y由于0,由极值的判定定理二知，=3x是函数的极大值点。就是函数的最大值。①实际问题本身决定函数在开区间内确有最大值②在开区间内只有唯一驻点则可以断定驻点就是所要求的最大值点。（实际问题在开区间内有唯一驻点）方法三的步骤：三.实际问题在开区间内有唯一驻点求函数的最值有三种方法：1.闭区间上连续函数的最值2.某区间内有唯一极值点3.实际问题在开区间内有唯一驻点闭区间闭区间、开区间开区间在生产实践和科学研究中，往往要求在一定条件下，“用料最省”、“耗时最少”、“成本最低”、“效率最高”等问题。这些问题，在数学上常常归结为函数的最大值和最小值问题。(1)建立目标函数（确定定义域）；(2)选择适当方法（3种）来求目标函数在定义域上的最值；求实际中最值的步骤：(3)求出最值或最值点。例3用边长为48cm的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形。然后把四边折起，就能焊成铁盒。问在四角截去多大正方形，才能使所做的铁盒容积最大？48x48(a)x48-2x48-2x(b)图形：问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)取得最大值，铁盒的容积为Vcm，解令2482Vxx024xV0,V设截去的小正方形的边长为xcm，据题意，则有驻点为x1=8，x2=2412248xx2482x+24822xx4824824xxx即，求最大值点。(舍)。由题意知，铁盒必然存在最大容积，则当x=8时，即当截去正方形边长为8cm时，铁盒的容积最大。且函数在(0,24)内有唯一的驻点x=8。例4铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距离A处为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路，已知铁路上每公里的货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的总运费最省，问D应选在何处？A20kmCDB100kmx100-x?解设铁路每公里的货运的运费为3k，公路每公里的货运的运费为5k（k为正常数）。100BDx2220CDx设点D选在距A点xkm处，则2400x设货物从B点运到C点的总运费为y，则254003100ykxkx0100x求x在[0,100]上取何值时，函数y的值最小,得25400xykx2253400400xxkx253400xx22259400xx254003100ykxkx0100x0y令，15x在[0,100]的驻点x=15。求最小值点。3k使用闭区间上求最值的方法，15380yk500ky取得最小值。15x则当时，0400yk100510400yk即D应选在距A点15km处，此时总运费最省。比较函数值的大小：254003100ykxkx0100x小结求最值的方法：闭区间上连续函数求最值；作业习题3.51（1）6某区间内有唯一的极值点；实际问题在开区间内有唯一的驻点。