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1考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式：当k时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为。针对练习：1、方程782x的一次项系数是，常数项是。2、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。针对练习：1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为，另一根是。22、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2。3、已知a是0132xx的根，则aa622。4、方程02acxcbxba的一个根为（）A1B1CcbDa5、若yx则yx324,0352。作业：1、若方程021mxm是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。⑴求k的值；⑵方程的另一个解。考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：mxmmx,02※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x216252x=0;;09132x例2、若2221619xx，则x的值为。针对练习：1、下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，3※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx，则4x+y的值为。变式1：2222222,06b则ababa。变式2：若032yxyx，则x+y的值为。变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为。例3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例4、解方程：04321322xx例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为。针对练习：1、下列说法中：①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx②)4)(2(862xxxx.③)3)(2(6522aababa④))()((22yxyxyxyx⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个42、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：3、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（）A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或24、方程：2122xx的解是。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0，47102xx的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。变式：若912322xxt，则t的最大值为，最小值为。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。变式1：已知041122xxxx，则xx1.变式2：如果4122411bacba,那么cba32的值为。类型四、公式法⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx5说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0即：若042acb，则二次三项式cbxax2)0(a为完全平方式；反之，若cbxax2)0(a为完全平方式，则042acb.针对练习：1、当k时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。2、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是.考点五、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）6A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ba、ba、ab、22ba之间的运算关系.例2、解方程组：.2,10)2(;24,10)1(22yxyxxyyx说明：一些含有yx、22yx、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。典型例题：1、关于x的方程03212mxxm⑴有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为。2、解方程，判断关于x的方程3222kkxx根的情况。3、如果关于x的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六：一元二次方程应用题7典型例题一例某公司八月份售出电脑200台，十月份售出242台，这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析设平均每月的增长率为x.那么九月份售出电脑)200200(x台，即)1(200x台，十月份售出xxx)1(200)1(200台，即2)1(200x台，于是根据题意，可以列出方程.解：设平均每月增长的百分率为x.依题意，有1.1)1(,21.1)1(,242)1(20022xxx∴1.2,1.021xx（不符合题意，舍去）答：平均每月增长的百分率为10%.说明在有关增长率的问题中，要掌握等量关系：pxan)1(，其中a为变化前的数，如本题中的200台，p为变化后的数，如本题中的242台，x为增长（降低）率，n为变化次数，如本题从八月到十月份共变化两次，因此2n.典型例题二例某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%，平均每年比上一年增长的百分率为.解设平均增长率为x，则211)1(2x%.∴1.11x.∴1.2,1.021xx（不合题意，舍去）.∴x=10%.说明：本题主要考查利用一元二次方程求平均数增长率的问题，解题关键是设出未知数，列出方程.典型例题四例（安徽省，1997）如图，要建一个面积为1502m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35米.（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？解（1）设鸡场的宽为x米，则.150)235(xx∴.5.7,1021xx当宽为10米时，长为35-20=15米.当宽为5.7米时，长为35-15=20米.8（2）由（1）的结果可知，题中的墙长a对于问题的解有严格的限制作用.当15a时，问题无解；当2015a时，问题有一解，只可建宽为10米，长15米一种规格的鸡场；当20a时，问题有两解，可建宽10米，长15米，或宽为5.7米，长为20米两种规格的鸡场.说明：本题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题，解题关键是设出未知数，表示出长与宽，根据面积公式列出方程，易错点是在讨论a的限制作用时漏解或叙述不清.典型例题五例将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为)50(x元，则每个商品得利润40)50(x元，因为每涨价1元，其销售量会减少10个，则每个涨价x元，其销售量会减少x10个，故销售量为)10500(x个，为了赚得8000元利润，则应有800040)50()10500(xx，进而可以求解.解设每个商品涨价x元，则销售价为)50(x元，销售量为)10500(x个.根据题意，得800040)50()10500(xx；整理，得0300402xx解之，得101x，302x.经检验，101x，302x都符合题意.当10x时，6050x，40010500x当30x时，8050x，20010500x答：要想赚8000元，售价应定为60元或80元，若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于本题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。分析：可设存款的年利率为x，依题意，以本利和为主线列方程解之。解设