专项训练：二项式定理(教师版)

试卷第1页，总11页专项训练：二项式定理（教师版）一、单选题1．若52axxx展开式的常数项等于-80，则a（）A．-2B．2C．-4D．4【答案】A【解析】【分析】用5()axx展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上5()axx展开式中的1x系数乘以1即得已知式展开式的常数项．【详解】由题意3325(1)80Ca，解得2a．故选A．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．2．5221xx的展开式中2x的系数为（）A．400B．120C．80D．0【答案】D【解析】【分析】变形已知为525521(1)(21)xxxx，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)rrrCx，55C(2)kkx，可知525521(1)(21)xxxx的通项为510()55(1)2rkrkkrCCx，即可求解.【详解】∵525521(1)(21)xxxx，二项展开式5(1)x的通项为55(1)rrrCx，二项展开式5(21)x的通项式为5555C(2)(1)(21)kkxxx，的通项为510()55(1)2rkrkkrCCx，所以8kr，所以展开式中2x的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0CCCCCC.试卷第2页，总11页【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题.二、填空题3．已知0m，若5(1)mx的展开式中2x的系数比x的系数大30，则m______．【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m的值．【详解】51mx展开式通项为：15rrrrTCmx0m且51mx的展开式中2x的系数比x的系数大302215530CmCm，即：2260mm解得：32m（舍去）或2m本题正确结果：2【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．二项式61(2)2xx展开式的常数项为第_____项．【答案】4【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+16rC（2x）6﹣r（12x）r＝（﹣1）r26﹣2rx6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式61(2)2xx展开式的常数项为第4项，得解．【详解】由二项式展开式的通项公式得：Tr+16rC（2x）6﹣r（12x）r＝6rC（﹣1）r26﹣2rx6﹣2r，试卷第3页，总11页当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式61(2)2xx展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．5．π204sincosnxxdx，则二项式1nxx的展开式中x的系数为______.【答案】10【解析】【分析】先求定积分得n，再根据二项展开式通项公式得结果.【详解】因为π204sincos(4cossin)520nxxdxxx，所以5521551()(1)rrrrrrrTCxCxx，令521r得2r=，所以展开式中x的系数为225(1)10.C【点睛】本题考查定积分以及二项展开式定理，考查基本分析求解能力，属中档题.6．设20,axdx则二项式51axx展开式中含2x项的系数是______.【答案】80【解析】【分析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数.【详解】由题意可得：2220011d4222axxx，试卷第4页，总11页则51axx即512xx，其展开式的通项公式为：5151(2)rrrnTCxx3525(2)rrrCx，令3522r可得3r，则展开式中含2x项的系数是325281080C.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．8xyyx的展开式中22xy的系数为.【答案】70.【解析】试题分析：设8xyyx的展开式中含22xy的项为第1r项，则由通项知8118822221881rrrrrrrrrrTCxyxyCxy．令822rr，解得4r，∴8xyyx的展开式中22xy的系数为448170C．考点：二项式定理．8．在(𝑥2+1𝑥)6的展开式中，含𝑥3项的系数为_________.（用数字填写答案）【答案】20【解析】试题分析：由题意可得𝑇𝑟+1=𝐶6𝑟(𝑥2)6−𝑟(1𝑥)𝑟=𝐶6𝑟𝑥12−3𝑟，令12−3𝑟=3,∴𝑟=3,∴𝑇4=𝐶63𝑥3=20𝑥3，综上所述，𝑥3的系数为20，故答案为20.考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.9．5213xxx的展开式中3x的系数为____.（用数字作答）【答案】270【解析】【分析】先根据二项式展开式通项公式求3x的项数，再代入得结果.试卷第5页，总11页【详解】因为71025521551(3)()(3)(1)rrrrrrrrTCxCxxx，所以由71032r得2r=，因此3x的系数为25225(3)(1)=270.C【点睛】本题考查二项式展开式求特定项系数，考查基本求解能力，属基础题.10．5212xx展开式中，含2x项的系数为__________.【答案】70【解析】【分析】512x展开式的通项公式为：152kkkkTCx,结合题意，令2k，此时项数为240x，令1k，此时项数为10x，据此即可确定2x项的系数.【详解】512x展开式的通项公式为：155(2)2kkkkkkTCxCx,令2k，此时项数为：2222552240kkkCCxxx，令1k，此时项数为：115122510Cxxx，综上可得：含2x的项为222224010801070xxxxxx，含2x项的系数为70.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．11．51112xx的展开式中2x的系数为________.【答案】-40【解析】【分析】试卷第6页，总11页利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有2x的项得答案．【详解】解：555111121212xxxxx，∵512x的展开式中含2x的项为2225(2)40Cxx，5112xx的展开式中含2x的项为33251(2)80Cxxx．∴51(12)xxx的展开式中，x2的系数为40-80＝-40．故答案为：-40．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.12．二项式（√𝑥−1√𝑥3）5的展开式中常数项为__________．【答案】−10．【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第𝑟+1项为𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟(−1)𝑟𝑥5−𝑟2−𝑟3=𝐶5𝑟(−1)𝑟𝑥52−5𝑟6，令52−56𝑟=0，则𝑟=3，∴𝐴=𝐶53(−1)3=−10．考点：二项式定理．13．27231xx的展开式中，3x的系数为______.【答案】-455【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】依题意，3x的系数为332217774(1)12(1)9(1)455CCC.故答案为-455试卷第7页，总11页【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题14．1(2)nxx(n为正整数)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含x项的系数是______.【答案】-560【解析】【分析】根据二项式系数之和求得n，根据二项式展开式的通项公式求得含x项的系数.【详解】依题意可知2128n，解得7n，712xx展开式的通项公式为7177277212rrrrrrrCxxCx，当721r时3r，故含x项的系数为343712560C.【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.15．已知44324321021xaxaxaxaxa，则1a_______.【答案】8【解析】【分析】由题意可知1a表示二项式展开式中一次项的系数，利用二项式展开式的通项公式即可求出1a【详解】由题意可知1a表示二项式展开式中一次项的系数，421x展开式的通项公式414(2)(1)rrrrTCx，当3r时，31344(2)(1)=8TCxx，1=8a【点睛】本题考查二项式展开式中某一项系数的求法，熟练掌握展开式的通项公式是关键，属于基础题。试卷第8页，总11页16．二项式6212xx的展开式中，常数项的值为______.【答案】240【解析】【分析】利用通项公式666163621()212rrrrrrrrTxxCxC，令630r，解得2r=，即可得出．【详解】666163621()212rrrrrrrrTxxCxC，令630r，解得2r=．∴常数项的值是24426651222402C，故答案为240．【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式、常数项的求法，属于基础题．17．在5111xx的展开式中，2x项的系数为_____（用数字作答）．【答案】0【解析】【分析】先求出二项式5(1)x展开式的通项，然后分两种情形通过拼凑的方法求得2x项的系数．【详解】二项式5(1)x展开式的通项为15(0,1,2,3,4,5)rrrTCxr，所以5111xx的展开式中2x项为2233225511()10100CxCxxxx．故答案为：0．【点睛】对三项式或乘积型的展开式的问题，一般转化为二项式的问题处理，求解时常常要借助组合的方式、通过“配凑”的方法得到所求项或系数，属于中档题．18．已知23nxx的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为试卷第9页，总11页_________.【答案】-32【解析】【分析】先写出二项式展开式中第5项，因为第5项为常数项解出n，然后令1x得各项系数和.【详解】解：因为444242105381nnnnTCxCxx，且第5项为常数项所以2100n，即5n令1x，得所有项系数和为5513232故答案为：32【点睛】本题考查了二项式定理的展开通项式，以及各项系数和问题，属于基础题.19．52xyxy的展开式中33xy的系数为_______（用数字填写答案）.【答案】40【解析】【分析】555()(2)(2)(2)xyxyx