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《数学实验》报告实验名称数学建模与MATLAB学院材料学院专业班级材料1014姓名徐萌孔德成戴思雨学号4107104641030400410303992012年6月一、问题的提出。传染病是当今世界最严重的疾病之一,2009年4月26日世界卫生组织以确认,美国和墨西哥发生了甲型H1N1流感,随后疫情迅速蔓延,截止8月中旬,全球感染人数约5万人。因此,运用传染病的数学模型来描述传染病甲型H1N1流感的传播过程,分析受感染人数的变化规律,探索制止甲型H1N1蔓延的手段是值得关注的。二、模型的建立。考查中国内地疫情变化,在疾病传播期间不考虑人口的出生率和死亡率,人口总数不变,为常量。中国的疫情研究发现易感染人数多为20~50岁的青壮年,故保守估计在此传染病系统的人数N=50000人。甲型HINI流感的传播途径是与病源的直接接触,患者与健康者接触时,都使健康者感染病变.故将人群分为3类:健康者(易感染者人群、患者(已被感染人群、治愈者(研究期间6月14日~8月14日间中国内地感染病毒死亡人数为0,故此处不考虑死亡者.三者在总人数中的比例分别为:s(t,i(t,r(t且s(t+i(t+r(t=1,io,So分别为患者人数,健康人数的比例初始值.设每个患者每日感染健康者的平均人数为日感染率,记为λj,则λj=j日新增病例数/(j-1日(累计确诊人数-累计出院人数;每日被治愈的患者人数占其总数的比例为日治愈率,记为μj,则Μj=j日被治愈的人数/j日累计确诊病人数;定义整个传染期内每个患者有效接触的平均人数为接触数σ,由s(t+i(t+r(t=1可知,对于病愈免疫的治愈者而言应有dr/dt=μi,因此考虑SIR传染模型,该模型的方程为2λsi-μi;λsi(1三、模型的求解1、数值运算由于在方程(1中无法求出s(t和i(t的解析解,故先做数值运算.据来自中国卫生部网站公布的2009年6月14日~8月14日的疫情数据(见表1[包括日累计确诊病例、日累计治愈病例等.其中缺失的部分数据,将以通过给定的数据拟合得到.表1疫情原始数据日期新增病例确诊病例累计治愈累计新增治愈数6月14日20185736月15日4122686136月16日1123797116月17日27264114176月18日33297135216月19日31328160256月20日28356185256月21日58414199146月22日27441227286月23日49490251246月24日38528275246月25日42570321466月26日48618338176月27日60678373356月28日51729401286月29日37766445446月30日44810496517月1日56866554587月2日49915612587月3日45960660487月4日4010007044437月5日401040749457月6日571097793447月7日541151870777月8日361187927577月9日361223985587月10日4012631035507月11日3913021085507月12日2613281110257月13日2613541134247月14日4513991166327月15日4514441197317月16日4114851230337月17日5215371263337月18日4415811293307月19日4416251323307月20日4316681355327月21日5217201404497月22日5217721454507月23日3818101529757月24日4218521604757月25日2618781663597月26日2619041722597月27日2619301781597月28日3719671817367月29日3620031853367月30日4320461883307月31日4420901912298月1日2021101937258月2日2121311962258月3日2121521988268月4日2921812031438月5日2922102074438月6日2722372098248月7日2722642122248月8日2822922137158月9日2823202152158月10日2823482167158月11日3823862203368月12日3924252240378月13日5724822261218月14日552537228322注:2009年疫情效据见文献[8]4以6月15日为基日,当日累计确诊病例226例,累计出院者86例,故s(0=(50000-226+86/50000=0.9972;I(0=(226-86/50000=0.0028;在研究期间,平均日感染率λ和平均日治愈率μ由每天相应数据平均求得.设计程序为:新增病例A确诊病例累计B治愈累计C新增治愈数DA=[41112733312858274938424860513744564945404057543636403926264545415244444352523842262626373643442021212929272728282838395755]B=[226237264297328356414441490528570618678729766810866915960100010401097115111871223126313021328135413991444148515371581162516681720177218101852187819041930196720032046209021102131215221812210223722642292232023482386242524822537]C=[8697114135160185199227251275321338373401445496554612660704749793870927985103510851110113411661197123012631293132313551404145415291604166317221781181718531883191219371962198820312074209821222137215221672203224022612283]D=[13111721252514282424461735284451585848444544775758505025243231333330303249507575595959363630292525264343242415151536372122]E=A./(B-C%日感染率e=sum(E/61%平均日感染率F=D./(B-C%日治愈率f=sum(F/61%平均日治愈率运行结果:A=Columns1through1641112733312858274938424860513744Columns17through3256494540405754363640392626454541552444443525238422626263736434420Columns49through6121212929272728282838395755B=Columns1through8226237264297328356414441Columns9through16490528570618678729766810Columns17through2486691596010001040109711511187Columns25through3212231263130213281354139914441485Columns33through4015371581162516681720177218101852Columns41through4818781904193019672003204620902110Columns49through5621312152218122102237226422922320Columns57through6123482386242524822537C=Columns1through88697114135160185199227Columns9through16251275321338373401445496Columns17through24554612660704749793870927Columns25through329851035108511101134116611971230Columns33through4012631293132313551404145415291604Columns41through4816631722178118171853188319121937Columns49through5619621988203120742098212221372152Columns57through6121672203224022612283D=Columns1through161311172125251428242446173528445158584844454477575850502524323133Columns33through4833303032495075755959593636302925Columns49through6125264343242415151536372122e=0.173970451885603%平均日感染率λ=0.173970451885603f=0.164030384929960%平均日治愈率μ=0.164030384929960接触数:σ=λ/μ=0.173970451885603/0.164030384929960=1.060598936958463可得模型方程为:;然后用Matlab软件编程,解常微分方程做出患者人数比例i(t--时间t/d关图,健康者比例s(t--时间t/d关系图,患者人数比例i-健康者比例s图。采用常微分方程数值求解的方法,预测之后的疫情,并绘制出曲线。设计程序为:M文件functionwo=bean(t,xwo=[-0.17397045*x(20;0.17397045*x(2-0.16403038]*x;命令:[t,x]=ode45('bean',[0,460],[0.9972,0.0028]t=Columns1through605.314510.629015.943521.258032.7580Columns7through1244.258055.758067.258078.758090.2580101.7580Columns13through18113.2580124.7580136.2580147.7580159.2580170.7580Columns19through24182.2580193.7580205.2580216.7580228.2580239.7580Columns25through30251.2580262.7580274.2580285.7580297.2580308.7580Columns31through36320.2580331.7580343.2580354.7580366.2580377.7580Columns37through42389.2580400.7580412.2580423.7580435.2580441.4435Columns43through45447.6290453.8145460.0000x=Columns1through3[0.9972,0.0028][0.9946,0.0020][0.9918,0.0031]Columns4through6[0.9889,0.0032][0.9859,0.0034][0.9790,0.0036]Columns7through9[0.9717,0.0039][0.9640,0.0041][0.9560,0.0042]Columns10through12[0.9479,