坐标变换

坐标变换由于直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，所以这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。1．坐标变换原理交流电机三相对称的静止绕组A、B、C，通以三相平衡的正弦电流时，产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速s（即电流的角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于下图1中。ABCABCiAiBiCFωsABCABCiAiBiCFωsFiiωsFiiωs图1交流电机绕组的等效物理模型图2等效的两相交流电机绕组旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相、……等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图2中绘出了两相静止绕组和它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。当图1和2的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图2的两相绕组与图1的三相绕组等效。sFdqidiqdqsFdqidiqdq图3旋转的直流绕组图3两个匝数相等且互相垂直的绕组d和q，其中分别通以直流电流id和iq，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图1和图2中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图1的三相交流绕组、图2的两相交流绕组和图3中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB、iC，在两相坐标系下的i、i和在旋转两相坐标系下的直流id、iq是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。坐标变换的任务就是求出iA、iB、iC与i、i和id、iq之间准确的等效关系。2．三相--两相变换（3/2变换）在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组、之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2变换。AN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oBAN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oB图4三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量上图绘出了A、B、C和、两个坐标系，为方便起见，取A轴和轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在、轴上的投影都应相等，)2121(60cos60cosCBA3C3B3A3α2iiiNiNiNiNiN)(2360sin60sinCB3C3B3β2iiNiNiNiN写成矩阵形式，得CBA23β2323021211αiiiNNii考虑变换前后总功率不变，在此前提下匝数比应为3223NN代入上式，得CBAβ232302121132αiiiii三相—两相坐标系的变换矩阵令C3/2表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则2323021211322/3C2/3102133221322C3．两相—两相旋转变换（2s/2r变换）从两相静止坐标系到两相旋转坐标系d、q变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转。iqsiniFssidcosididsiniqcosiβiqdqiqsiniFssidcosididsiniqcosiβiqdq图5两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量两相交流电流i、i和两个直流电流id、iq产生同样的以同步转速s旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。d，q轴和矢量Fs（is）都以转速s旋转，分量id、iq的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。但、轴是静止的，轴与d轴的夹角随时间而变化，因此is在、轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图5可见，i、i和id、iq之间存在下列关系2s/2r变换公式αdqcossiniiiβdqsincosiii两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵写成矩阵形式，得αdd2r/2sβqqcossinsincosiiiCiii式中cossinsincoss2/r2C是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。