回归直线方程的三种推导方法

回归直线方程的三种推导方法巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：设x与y是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n个点的坐标分别是：112233()()()()nnxyxyxyxy，，，，，，，，，设所求的回归方程为iiybxa，(123)in，，，，．显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n个偏差的平方和Q来表示n个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即Q=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂)2𝑛𝑖=1=∑(𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−𝑎)2𝑛𝑖=1求出当Q取最小值时的ab，的值，就求出了回归方程．下面给出回归方程的推导方法一：一、先证明两个在变形中用到的公式公式（一）22211()nniiiixxxnx，其中12nxxxxn证明：2222121()()()()ninixxxxxxxx∵22221212()2nnxxxxxxnxnxn222222222212121()2()nnniixxxnxnxxxxxnx22211()nniiiixxxnx∴．公式（二）11()()nniiiiiixxyyxynxy证明：11221()()()()()()()()niinnixxyyxxyyxxyyxxyy∵11221122()()nnnnxyxyxyxyyxxyyxxyyxnxy12121[()()]niinnixyxxxyyyyxnxy12121()()nnniiixxxyyyxynyxnxynn112nniiiiiixynxynxyxynxy，11()()nniiiiiixxyyxynxy∴．二、推导：将Q的表达式的各项先展开，再合并、变形2222112233()()()()nnQybxaybxaybxaybxa2222121122()[2()2()]nyyyybxaybxa展开222211111222nnnnniiiiiiiiiiiybxyaybxabxna合并同类项22221111122nniinnniiiiiiiiiyxnanabbxbxyynn以ab，的次数为标准整理22221112()2nnniiiiiiinanaybxbxbxyy转化为平均数xy，22222111[()]()2nnniiiiiiinaybxnybxbxbxyy配方法2222222111[()]22nnniiiiiiinaybxnynbxynbxbxbxyy展开222222111[()]()2()()nnniiiiiiinaybxbxnxbxynxyyny整理2222111[()]()2()()()nnniiiiiiinaybxbxxbxxyyyy用公式（一）、（二）变形22212111()()[()]()()()niinniiiniiiixxyynaybxxxbyyxx配方22212212211111()()()()()()()()()nniiiinniiiinniiiiixxyyxxyynaybxxxbyyxxxx配方法在上式中，共有四项，后两项与ab，无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q取得最小值，当且仅当前两项的值都为0．所以𝑏=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑎＝𝑦̅−𝑏𝑥̅或1221niiiniixynxybxnx用公式（一）、（二）变形得上述推导过程是围绕着待定参数ab，进行的，只含有iixy，的部分是常数或系数，用到的方法有：①配方法，有两次配方，分别是a的二次三项式和b的二次三项式；②形时，用到公式（一）、（二）和整体思想；③用平方的非负性求最小值．④实际计算时，通常是分步计算：先求出xy，，再分别计算1()()niiixxyy，21()niixx或1niiixynxy，221niixnx的值，最后就可以计算出ab，的值．推导方法二：Q=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂)2𝑛𝑖=1=∑(𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−𝑎)2𝑛𝑖=1=∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)+(𝑦̅−𝑏𝑥̅)−𝑎]2𝑛𝑖=1=∑{[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]2+2[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]∗[(𝑦̅−𝑏𝑥̅)−𝑎]+[(𝑦̅−𝑏𝑥̅)−𝑎]2}𝑛𝑖=1=∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]2+2∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]∗[(𝑦̅−𝑏𝑥̅)−𝑎]𝑛𝑖=1+𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅−𝑎)2𝑛𝑖=1注意到∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]∗[(𝑦̅−𝑏𝑥̅)−𝑎]=(𝑦̅−𝑏𝑥̅−a)∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1=(𝑦̅−𝑏𝑥̅−a)[∑𝑦𝑖−𝑏∑𝑥𝑖−𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅)𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1]=(𝑦̅−𝑏𝑥̅−𝑎)[𝑛𝑦̅−𝑛𝑏𝑥̅−𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]=0因此，Q=∑[𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−(𝑦̅−𝑏𝑥̅)]2+𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅−𝑎)2𝑛𝑖=1=𝑏2∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1−2𝑏∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)+∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1+𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅−𝑎)2=𝑛(𝑦̅−𝑏𝑥̅−𝑎)2+∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2[𝑏−∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1]2𝑛𝑖=1−[∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1]2∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1+∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1在上式中，后面两项和a,b无关，前两项为非负数，因此，要使Q达到最小值，当且仅当前两项均为0，即有𝑏=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑎＝𝑦̅−𝑏𝑥̅总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。还有不足之处是它与必修三给出的公式形式上还是有所区别，还要对形式进行转化。推导方法三：Q=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖̂)2𝑛𝑖=1=∑(𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−𝑎)2𝑛𝑖=1两边对a求导得−2∑(𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−𝑎)=−2[(𝑦1−𝑏𝑥𝑖−𝑎)+(𝑦2−𝑏𝑥2−𝑎)+⋯⋯+(𝑦𝑛−𝑏𝑥𝑛−𝑎)]𝑛𝑖=1=−2[(𝑦1+𝑦2+⋯⋯+𝑦𝑖)−𝑏(𝑥1+𝑥2+⋯⋯+𝑥𝑛)−𝑛𝑎]=−2(𝑛𝑦̅−𝑏𝑛𝑥̅−𝑛𝑎)令−2(𝑛𝑦̅−𝑏𝑛𝑥̅−𝑛𝑎)=0得𝑎＝𝑦̅−𝑏𝑥̅（1）若两边对b求导得−2∑(𝑦𝑖−𝑏𝑥𝑖−𝑎)𝑥𝑖𝑛𝑖=1=−2[(𝑦1−𝑏𝑥𝑖−𝑎)𝑥1+(𝑦2−𝑏𝑥2−𝑎)𝑥2+⋯⋯+(𝑦𝑛−𝑏𝑥𝑛−𝑎)𝑥𝑛]=−2[(𝑥1𝑦1+𝑥2𝑦2+⋯⋯+𝑥𝑛𝑦𝑛)−𝑏(𝑥12+𝑥22+⋯⋯+𝑥𝑛2)−𝑎(𝑥1+𝑥2+⋯⋯+𝑥𝑛)]=−2(∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑏∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑎𝑛𝑥̅)令−2(∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑏∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑎𝑛𝑥̅)=0将（1）式带入上式得b=∑𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥̅总结：这种方法应该比以上两种方法都简单，学生在学习过导数及其利用导数求极值之后，度这个方法的推导能够理解。