极坐标与直角坐标的互化

极坐标和直角坐标的互化【自主预习】极坐标与直角坐标的互化公式如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).ρcosθρsinθx2+y2yx【即时小测】1.极坐标系中,点(1,π)的直角坐标为()A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)【解析】选B.由公式得所以点(1,π)对应的点的直角坐标为(-1,0).xcos,ysin,x1,y0，2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为________(ρ0,0≤θ2π).【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极点)的距离为2016,极角θ=+2kπ,k∈Z,因为0≤θ2π,所以θ=.所以点(2016,-2016)的极坐标为.答案:274747(20162)4，7(20162)4，【知识探究】探究点极坐标和直角坐标的互化1.点与极坐标是一一对应的吗?提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式分别计算极径和极角,求极角时先计算[0,2π)内的角θ0,再表示为θ0+2kπ,k∈Z.222xyytan(x0)x，类型一点的极坐标与直角坐标的转化【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,ρ≥0,θ∈R完成下列各题:(1)将极坐标M化为直角坐标.(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.7(6)6，【解析】(1)将点M的极坐标代入公式所以点的直角坐标为(-3,-3).7(6)6，7x6cos33,xcos,6ysin,7y6sin3,6得3(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ=,所以点N的极坐标为,k∈Z.22222xy,yxy20162tan1xtanyx(x0),得，，343(201622k)4，【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ时,必须根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.yx(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的三角变换公式,如半角公式1coscos22，1cossin.22－等【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标化成直角坐标是()A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,)D.(,1)(2,)333【解析】选C.由公式所以(1,)即为所求.x1,xcos,ysiny3,得32.若已知极坐标平面内的点P,求点P关于极点对称的点的极坐标及直角坐标.5(2)3，【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2,即ρ=2.又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的极坐标可以为,532(2)3，由x=2cos=-1,y=2sin=-,故点P′的直角坐标为(-1,-).2()32()333类型二极坐标与直角坐标转化的应用【典例】已知A,B两点的极坐标为求线段AB中点的直角坐标.π4π(6,)(8,)33和，【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),同理可得B(-4,).设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得6,3（），AAx6cos3y6sin3333，，3343所以线段AB中点的直角坐标为431m2243333n22，，13(,).22【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8,故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的极坐标为4(1,).3π4π(6,)(8,)33和，方法二:因为线段AB中点的直角坐标为故因为AB中点在第三象限,故故中点的极坐标为13,22（），2213()1tan322（），，43，41,.3（）2.试求直线AB的方程.【解析】因为A点的极坐标为所以所以A(3,),又因为直线AB的倾斜角为故斜率故直线AB的方程为即6,3（），AAx6cos3y6sin3333，，333，y333x3，3xy0.k3，【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.【变式训练】1.若点M的极坐标为则点M关于y轴对称点的极坐标为________.11(6)6，，【解析】点M的极坐标为所以点M的直角坐标为所以点M关于y轴对称点的直角坐标为由又点(-3,-3)位于第三象限.11(6)6，，(333)，，(333)，，22(33)36，33tan333，3故则所求点的极坐标为答案:76，7(6).6，7(6)6，2.在极坐标系中,已知求|AB|.A(3)B(4),36，，和，【解析】由点A的极坐标为可得点A的直角坐标为同理点B的直角坐标为(2,-2),则|AB|=(3)3，，333(),22，22333(23)(2)5.223【归纳总结】1.直角坐标与极坐标的关系三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三角函数定义,角θ的顶点在原点O(极点),始边为横轴的正半轴,M(x,y)为角θ终边上的一点,|OM|=则sinθ=,cosθ=,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.22xy,yx2.特殊角的三角函数值θsinθ1cosθ0tanθ1不存在64321222323222123333.由点的直角坐标确定极角当点不在y轴上时,由tanθ=求出[0,2π)上的θ;当点在y轴正半轴上时,θ=;当点在y轴负半轴上时,θ=.yx232