江苏中职数学第四册17.3--复数的几何意义及三角形式

§17.3复数的几何意义及三角形式邗江中等专业学校张俊计算下列各题：1）(8-2i)+(-6+4i)2）(3+4i)-(5-3i)3）(2-3i)(3+4i)4）3−2𝑖4+3𝑖答案：1）2+2i2）-2+7i3）18-i4）18−17𝑖25一个实数可以用数轴上的一点来表示，这个实数是这个点的坐标。复数a+bi是否也能用一种类似的方法来表示呢？x0-2-3-4-5162-13451、复平面：用平面直角坐标系xOy中的横坐标、纵坐标分别表示复数的实部、虚部，则复数z=a+bi（a，b∈R）与点Z（a，b）之间显然是一一对应的，所以可以用点Z（a，b）来表示复数z=a+bi（a，b∈R）。把横轴叫做实轴，纵轴叫做虚轴（原点除外），这样的平面直角坐标系叫做复平面。用复平面内的点来表示复数，叫做复数的几何表示法。例1在复平面内作出表示下列复数的点1）4i2）43）2+i4）-2+2i5）2-3i6）-2-2i例2指出下图中各点所表示的复数Z1=0+i=iZ2=3+0i=3Z3=1+4iZ4=-3+2iZ5=4-3iZ6=-3-2i2、复数的模与辐角：复平面内表示复数z=a+bi（a，b∈R）的点Z（a，b）到坐标原点O的距离叫做复数的模，记作｜z｜，即｜z｜=𝑎2+𝑏2。以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角θ叫做复数Z的辐角（从x轴正向到OZ的转角θ(逆时针方向为正)）。1、复数z与其辐角之间的关系是一对一的，但复数的辐角不是唯一的，θ=2kπ+θ2、规定：复数0的辐角为任意值3、复数与其模之间的关系是一对一的4、复数辐角的主值：复数z在（-π，π]内的辐角叫辐角的主值。记作：argz。以后所说的辐角一般指的是它的主值。辐角的求法当a≠0，b≠0时，复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角α由tanα=𝑏𝑎和表示复数z的点所在象限确定。例3求复数1+i的模和辐角。解：复数1+i可以用点Z（1，1）表示。｜1+i｜=｜Z｜=12+12=2∵tanα=𝒃𝒂=𝟏𝟏=𝟏,且辐角在第一象限∴复数1+i的辐角argz=450例4求证：z•𝑧=|𝑧|2。证明：设z=a+bi（a，b∈R）则𝑧=a-bi所以z•𝑧=(a+bi)(a−bi)=𝑎2+𝑏2又｜z｜=𝑎2+𝑏2，所以z•𝑧=|𝑧|2求下列复数的模和辐角。1）32）2+2i3）3i4）-𝟏𝟐-3𝟐i5）-23、复数的三角形式：若设复数z=a+bi≠0，其模|z|=r，辐角为θ，试用r，θ表示复数z的实部a和虚部b。a=rcosθ，b=rsinθ，则点Z(a，b)可写成Z(rcosθ，rsinθ)若复数z的模为r，辐角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)，一般地，把z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三角形式。复数的三角形式应满足的条件：1）r0；2）中间是“+”；3）实部是rcosθ，虚部是rsinθ。例5指出下列复数的模和辐角。1)cos𝜋6+isin𝜋62)2(cos750+isin750)3)𝜋(cos100−isin100)解：1)cos𝜋6+isin𝜋6的模为1，辐角为𝜋6。2)2(cos750+isin750)的模为2，辐角为750。3)原式=𝜋[cos(−100)+isin(−100)]，则模为𝜋，辐角为−100。指出下列复数的模和辐角。1）5（cos𝜋6+isin𝜋6）2）7[cos(−1050)+isin(−1050)]3）cos3+isin3例6将下列复数的代数形式化为三角形式。1）z1=52）z2=1+i3）z3=-2i解：1）∵5的模为5，辐角为0∴5=5（cos0+isin0）2）∵z2的模为2，辐角为𝜋4∴z2=2（cos𝜋4+isin𝜋4）3）∵z3的模为2，辐角为-𝜋2∴z3=2[cos(−𝜋2)+isin(−𝜋2)]将下列复数的代数形式化为三角形式。1）z1=32）z2=2+2i3）z3=3i4）-𝟏𝟐-3𝟐i5）-2例7将下列复数的三角形式化为代数形式。1）z1=2（cos𝜋6+isin𝜋6）2）z2=6（cos600+isin600）解：1）z1=2（cos𝜋6+isin𝜋6）=2（3𝟐+1𝟐𝒊）=3+i2）z2=6（cos600+isin600）=6（1𝟐+3𝟐𝒊）=3+33i将下列复数的三角形式化为代数形式。1）z1=3（cos2𝜋3+isin2𝜋3）2）z2=3[cos(−𝜋3)+isin(−𝜋3)]3）z3=2（cos0+isin0）4）z4=5[cos(−𝜋2)+isin(−𝜋2)]1、复平面的相关概念2、计算复数的模与辐角3、复数的三角形式4、复数的三角形式与代数形式的转换1、求下列复数的模和辐角。1）132）9+9i3）-3i4）-3𝟐-1𝟐i5）25（cos𝜋6+isin𝜋6）2、将下列复数的代数形式化为三角形式。1）z1=82）z2=4+4i3）z3=3i3、将下列复数的三角形式化为代数形式。1）z1=6(cos𝜋4+isin𝜋4)2）z2=8[cos(−𝜋6)+isin(−𝜋6)]