函数奇偶性的概念

课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1．3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.1.对函数奇偶性概念的理解．(难点)2.函数奇偶性的判定方法．(重点)课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条____的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的______．2．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点称作该中心对称图形的_________．直线对称轴对称中心课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念3．点P(x，f(x))关于原点的对称点P1的坐标为_____________，关于y轴对称点的点P2的坐标为__________．(－x，－f(－x))(－x，f(x))4．反比例函数y＝1x的图象关于____对称，二次函数y＝x2的图象关于____对称．原点y轴课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念函数的奇偶性奇偶性项目偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都_____________，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)就叫做奇函数.有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念定义域关于原点对称图象特征关于y轴对称关于原点对称与单调性关系在对称区间上，单调性相反在对称区间上，单调性相同课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数解析：函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．答案：C课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念2．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．直线y＝x对称D．坐标原点对称解析：函数定义域为{x|x≠0}f(－x)＝－1x＋x＝－f(x)，f(x)是奇函数，所以函数的图象关于原点对称．答案：D课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念3．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.答案：－14．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－2|x|－1；(2)f(x)＝x＋1x3－x.解析：(1)f(x)的定义域为R，且满足f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，从而可知f(x)为偶函数；课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念(2)f(x)＝x＋1x3－x的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(－x)＝(－x)＋1－x3－－x＝－x＋1x3－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念简单函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3＋1x；(2)f(x)＝x4－3x2；(3)f(x)＝(x－1)1＋x1－x；(4)f(x)＝x2－1＋1－x2.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念由题目可获取以下主要信息：,①函数fx的解析式均已知；,②判断奇偶性问题.,解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证fx与f－x之间的关系来确定奇偶性.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念[解题过程](1)f(x)＝x3＋1x的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－x3－1x＝－(x3＋1x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋1x是奇函数．(2)f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，所以f(x)＝x4－3x2是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念(3)求得f(x)＝(x－1)1＋x1－x的定义域是[－1,1)，不关于原点对称，所以f(x)＝(x－1)1＋x1－x是非奇非偶函数．(4)f(x)＝x2－1＋1－x2的定义域是{－1,1}，关于原点对称，在定义域内化简f(x)＝x2－1＋1－x2＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝0，f(x)＝x2－1＋1－x2既是奇函数又是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念[题后感悟](1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；②有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误．如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶函数．注意下面变式训练中的第(4)小题．③若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(3)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(4)f(x)＝1－x2|3－x|－3.课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念解析：(1)函数定义域为R.f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念(4)函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，∵f(x)＝1－x23－x－3＝1－x2－x.∴f(－x)＝1－－x2x＝1－x2x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念分段函数的奇偶性判断已知f(x)＝x2＋x＋1x＜0－x2＋x－1x＞0，判断f(x)的奇偶性．[策略点睛]课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念[题后感悟](1)如何判断分段函数f(x)＝f1x，x∈I1f2x，x∈I2，的奇偶性？①求f(x)定义域x∈I1∪I2，判断定义域是否关于原点对称；②当－x∈I1时，求f(－x)，判断f(－x)与f(x)的关系；③当－x∈I2时，求f(－x)，判断f(－x)与f(x)的关系；④结论．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：①根据－x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写x的所属区间；②f(－x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为－x与x所属区间不同；③定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念2.判断函数f(x)＝x－1，x＞0，0，x＝0，x＋1，x＜0的奇偶性．解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，另一方面，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念3．判断函数f(x)＝x－2x00x＝0－x－2x0的奇偶性．解析：①当x0时，－x0f(－x)＝－x－2＝f(x)②当x0时，－x0f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)∴f(x)是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念抽象函数奇偶性的判断已知函数f(x)不恒为0，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：f(x)是奇函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念[解题过程]函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念[题后感悟]如何判断抽象函数的奇偶性？①明确目标：判断f(－x)与f(x)的关系；②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(－x)与f(x),如本例中令y＝－x；③用赋值法求特殊函数值，如本例中令x＝y＝0,求f(0)．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念4.本例中，若将条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改为f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数．证明：令x＝0，y＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①又令x＝x，y＝0得f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②①②得f(－x)＝f(x)∴f(x)是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念1．准确理解函数奇偶性定义(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念◎判断函数f(x)＝(x－1)1＋x1－x的奇偶性．【错解】将解析式变形为：f(x)＝－1－x21＋x1－x＝－1＋x1－x＝－1－x2.∴f(－x)＝－1－－x2＝－1－x2∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．课后练习课堂讲义预习学案目标定位栏目导引必修1第一章集合与函数的概念【错因】没有考察函数定义域的对称性．【正解】因为函数f(x)的定义域