利用中值定理证明不等式

利用中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的,并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广,找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的:定理3.2[8]罗尔定理:如果函数()fx在闭区间,ab上连续,在开区间,ab内可导,且在区间端点的函数值相等,即fafb那么在,ab内至少存在一点使得函数在该点的导数值等于零.即'0f.(3.1)证明由于()fx在闭区间,ab上连续,所以()fx在,ab上一定取到最小值与最大值,分别设为m与M.(1)当mM,则()fx在,ab是常值函数,即',0,,fxmfxxab.因此,可取,ab内任意一点,有'0f.(2)当mM时,由于fafb,所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值M在内部取到.设',,abfM,则f为极大值.由()fx在,ab内可导,知'f存在.由费马定理知,'0f定理3.3[8]拉格朗日中值定理:如果函数()fx在闭区间,ab上连续,在开区间,ab内可导,那么在,ab内至少存在一点使等式'fbfafba(3.2)成立.证明构造一个函数,设fbfaFxfxxafaba,由于,,,FxCabFxDab,且0FaFb.所以由罗尔定理知至少存在一点,ab,使'0F.又''fbfaFxfxba,所以'0fbfafba,于是'fbfafba例3.2[4]证明0,1xxex分析:因为0x当0x时,将不等式1xex改写成00,0,xeeexx当0x时,将不等式1xex改写成00,,0xeeexx证明令xfxe当0x时,对xfxe在0,x上应用拉格朗日中值定理.00,0,xeeexx因为1xee,所以1xex,即1xex当0x时,对xfxe在,0x上应用拉格朗日中值定理,00,,0xeeexx．因为1xee，所以1xex.即1xex.故当0x时，1xex.例3.3证明不等式:当0x时,ln1ln101xxxx分析:所证不等式中的函数ln1x的导数为11x,即所证不等式中含有函数及其导数,因而可用拉格朗日中值定理试之.由于ln10,因此可构造函数的改变量ln(1)ln1x,则相应自变量的改变量为x,原不等式等价于:ln1ln1111(1)1xxx由不等式中间部分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理证明.证明原不等式可等价变形为：ln1ln101110xxx.令ln1fxx,显然它在0,0xx上满足拉格朗日中值中定理的条件,故存在0,x,使得'00fxffx,即ln1ln11.1xx又x0,所以11111x.所以1ln(1)11xxx.因此,当0x时,ln1ln10110xxxx.