搜索
课后答案网您最真诚的朋友网团队竭诚为学生服务，免费提供各门课后答案，不用积分，甚至不用注册，旨在为广大学生提供自主学习的平台！课后答案网：视频教程网：课件网：第一章基本概念§1.1集合1111．设集合A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e}，求A∪B，A∩B，A―B，(A―B)∪(B－A)。解：A∪B＝{a，b，c，d，e}，A∩B＝{c，d}，A―B＝{a，b}，(A―B)∪(B－A)＝{a，b，e}。2222．设集合A＝{1，2，3，4}，试分别写出A×A与2A中所含的所有元素。解：A×A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，2A＝{φ，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}}。3333．设A，B为有限集，且|A|＝m，|B|＝n，证明：|A×B|＝mn。 证明：由于积集合A×B中的元素为：(x，y)，其中x∈A，y∈B。因为A中有m个不同的元素，B中有n个不同的元素，即x共有m种不同的取法，y有n种不同的取法，根据乘法原理可得积集合A×B中共有mn个不同的元素。4444．设A是有限集，证明：|2A|＝2|A|。证明：设A中共有n个元素，即A＝{a1，a2，…，an}，B是A的任意一个子集，那么B中的元素必取自a1，a2，…，an的其中某些，一种不同的取法就得到一个不同的子集。而在每一个子集中，元素ai(i＝1，2，…，n)只有出现和不出现两种情况。根据乘法原理可知共有子集�����⋯2222个n×××＝2n＝2|A|。5555．具体证明集合的运算性质。解：证明略。§1.2映射1111．A＝{所有大于零的实数}，D＝RRRR，找一个A到D的一一映射。解：满足条件的一一映射很多，我们只需给出其中的一个即可。 ：A→D，x↦lglglglgx，∀x∈A。给出映射f后，我们还需证明它满足题目的要求。而这里的映射f，我们由对数函数的性质可知它是一个A到D的一一映射。2222．对于下面给出的ZZZZ的变换f，g，h，f：x↦3x，g：x↦3x＋1，h：x↦3x＋2，计算：fοg，gοf，gοh，hοg，fοgοh。解：根据映射合成的定义，对于任意x∈ZZZZ，我们可得：xg↦3x＋1f↦3(3x＋1)＝9x＋3，或者(fοg)(x)＝f(g(x))＝f(3x＋1)＝3(3x＋1)＝9x＋3，从而得fοg：x↦9x＋3；同理可得：fοg：x↦9x＋3；gοf：x↦9x＋1；gοh：x↦9x＋7；hοg：x↦9x＋5；fοgοh：x↦27x＋21。3333．设f是A到B的一个一一映射，a∈A，则f－1[f(a)]＝?，f[f－1(a)]＝?，若f是A的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什么？解：因为a∈A，而f是A到B的一个一一映射，所以f－1[f(a)]总是有意义的，且f－1[f(a)]＝a；对于另一个式子，由于f－1是一 的一一映射，所以要使得f－1(a)有意义，则必须a∈B，因此，f[f－1(a)]＝⎩⎨⎧∉∈.,时当无意义时当BaBaa若f是A的一个一一变换，那么总有f－1[f(a)]＝a，f[f－1(a)]＝a。4444．设f是A的一个变换，S⊆A，试比较f－1[f(S)]和f[f－1(S)]。解：由于f仅是A的一个变换，那么在此题中的f－1我们只能理解为由f诱导出的2A的一个变换，即f－1[f(S)]和f[f－1(S)]都是A的子集。要比较f－1[f(S)]和f[f－1(S)]，当然是指这两个A的子集的相互包含关系。首先，当f为单射时，我们有f[f－1(S)]＝ImImImImf∩S，f－1[f(S)]＝S；所以，f[f－1(S)]＝ImImImImf∩S⊆S＝f－1[f(S)]。其次，当f为满射时，我们有f[f－1(S)]＝S⊆f－1[f(S)]。当f为一一映射时，则有f[f－1(S)]＝f－1[f(S)]。5555．设f：A→B，证明：(1)f为单射的充分必要条件为存在映射g：B→A，使得gf＝IA；(2)f为满射的充分必要条件为存在映射h：B→A，使得 ＝IB。证明：(1)先证充分性。由gf＝IA得gf是单射。如果f不是单射，则存在a，b∈A，且a≠b，f(a)＝f(b)，从而有(gf)(a)＝g(f(a))＝g(f(b))＝(gf)(b)，与gf为单射矛盾。再证必要性。设f是单射，我们通过映射f来作B到A的映射g：B→A，任意b∈B，b⎩⎨⎧∉=∈,,Im,)(,Im00中的某一固定元素为时当且时当Aafbabaffba↦由于f是单射，则容易证明以上所定义的映射g是合理的，且满足gf＝IA；(2)先证充分性。由fh＝IB得fh是满射。如果f不是满射，则存在b∈B，且b在映射f下没有原象，即b∉ImImImImf。由于ImImImIm(fh)⊆ImImImImf，得b∉ImImImIm(fh)，与fh为满射矛盾。再证必要性。设f是满射，我们通过映射f来作B到A的映射h：B→A。因为任意b∈B，在映射f下总存在原象，当b的原象不是唯一时，我们只取其中固定的某一个ab，那么，定义：h：B→A，b↦ab。容易证明以上所定义的映射h满足题目要求。 §1.3代数运算与运算律1111．A＝{a，b，c}，给出A的两个不同的代数运算。解：集合A中含有3个元素，而3个元素的集体上共可定义33×3个不同的代数运算，我们很容易得到其中的两个不同的代数运算。如：xο1y＝y，xο2y＝a。2222．RRRR*＝{x|x∈RRRR，x≠0}，“ο”是普通除法，这个代数运算是否适合结合律、交换律？解：因为1，2，3∈RRRR*，而(1÷2)÷3＝21÷3＝61，1÷(2÷3)＝1÷32＝23，得(1÷2)÷3≠1÷(2÷3)，且1÷2≠2÷1，所以，RRRR*关于普通的除法运算既不满足结合律，也不满足交换律。3333．A＝{a，b，c}，由表οabcaabcbbcaccab 给出的代数运算是否适合结合律？解：如果直接验证，任意取A中的三个元素x，y，z，有(xοy)οz＝xο(yοz)，由于x，y，z都有三种取法，则共需要验证33＝27个式子。但我们从表中可以看出：aοx＝x＝xοa，即从A中任意取出的三个元素x，y，z中有a，则肯定有(xοy)οz＝xο(yοz)，因为当x＝a时，有(aοy)οz＝yοz，aο(yοz)＝yοz。同理可得，当y＝a和z＝a时也成立。这样就只剩下x，y，z取b和c的8种情况了，即只需验证(bοb)οb＝bο(bοb)，(bοb)οc＝bο(bοc)，(bοc)οb＝bο(cοb)，(bοc)οc＝bο(cοc)，(cοb)οb＝cο(bοb)，(cοb)οc＝cο(bοc)，(cοc)οb＝cο(cοb)，(cοc)οc＝cο(cοc)，对于以上8个算式，我们具体来验证其中之一，如(bοc)οc＝bο(cοc)，因为bοc＝a，cοc＝b，所以(bοc)οc＝aοc＝c，bο(cοc)＝bοb＝c，从而有(bοc)οc＝bο(cοc)。对于其它式子同样可以得到验证。所以，A的代数运算ο满足结合律。4444．设⊗，⊕是A的两个代数运算，并且⊕适合结合律，⊗，⊕适合左、右分配律，证明，对于任意a1，a2，b1，b2∈A都有(a1⊗b1)⊕(a1⊗b2)⊕(a2⊗b1)⊕(a2⊗b2) ＝(a1⊗b1)⊕(a2⊗b1)⊕(a1⊗b2)⊕(a2⊗b2)。证明：左边＝[(a1⊗b1)⊕(a1⊗b2)]⊕[(a2⊗b1)⊕(a2⊗b2)]＝[a1⊗(b1⊕b2)]⊕[a2⊗(b1⊕b2)]＝(a1⊕a2)⊗(b1⊕b2)，右边＝[(a1⊗b1)⊕(a2⊗b1)]⊕[(a1⊗b2)⊕(a2⊗b2)]＝[(a1⊕a2)⊗b1]⊕[(a1⊕a2)⊗b2]＝(a1⊕a2)⊗(b1⊕b2)＝左边。5555．具体证明本节定理2，定理3。定理2如果A的代数运算“ο”同时适合结合律和交换律，那么在a1οa2ο…οan(n≥2)中，元素的顺序可以任意调换。定理3设A的代数运算⊕适合结合律，(1)如果⊗，⊕适合左分配律，那么∀b，a1，a2，…，an∈A，有b⊗(a1⊕a2⊕…⊕an)＝(b⊗a1)⊕(b⊗a2)⊕…⊕(b⊗an)；(2)如果⊗，⊕适合右分配律，那么∀b，a1，a2，…，an∈A，有(a1⊕a2⊕…⊕an)⊗b＝(a1⊗b)⊕(a2⊗b)⊕…⊕(an⊗b)。解：定理2的证明。当n＝2时即为交换律，假设当n＝k－1时结论正确。当n＝k时，设1iaο2iaο…οkia是a1，a2，…，ak的任意一个运算次序，其中i1，i2，…，ik是1，2，…，k的一个排列， ＝1，从而有1iaο2iaο…οkia＝([1iaο2iaο…)1−siaο]1aο(1+siaο…ο)kia＝a1ο(2iaο…1−siaο1+siaο…ο)kia＝a1οa2ο…οak。定理3的证明也同样可用归纳法。具体的证明略。§1.4等价关系与集合分类1111．下列集合A上的关系是不是等价关系？为什么？(1)设S＝{1，2，3}，A＝2S，给出关系R：xRy⇔x⊆y(x，y∈A)；(2)设A＝{平面上所有直线}，给出关系R1，R2：l1R1l2⇔l1∥l2或l1＝l2(l1，l2∈A)，l1R2l2⇔l1⊥l2(l1，l2∈A)，(3)设A＝CCCC，规定关系R：aRb⇔argargargarga＝argargargargb(a，b∈A)。解：(1)不是等价关系。取x＝{1}，y＝{1，2}，则有x⊆y，但是我们不能得到y⊆x，即关系R不满足对称性。(2)R1是等价关系。其验证容易。R2不是等价关系，它不满足自反性和传递性。 (3)不是等价关系。由于复数0不定义幅角，即argargargarg0没有意义，也就是说，复数0与自身没有关系，所以它不满足自反性。2222．设A＝{1，2，3，4}，在2A中规定关系R：SRT⇔S，T中含有的元素个数相同，证明：R是等价关系，写出商集2A/R。解：先验证R是一个等价关系。(1)(自反性)任意S∈2A，显然有SRS；(2)(对称性)如果SRT，则|S|＝|T|，即有TRS；(3)(传递性)如果SRT，TRU，则|S|＝|T|，|T|＝|U|，得|S|＝|U|，即SRU。由于具有相同元素个数的子集都相互等价，而等价类是将相互等价的元素放在一起所构成的集合，从而有φ＝{φ}，}{a＝{{a}，{b}，{c}，{d}}，},{ba＝{{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}}，},,{cba＝{{a,b,c}，{a,