《离散数学》题库及答案

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1《离散数学》题库与答案一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?(A)(1)Q=Q→P(2)Q=P→Q(3)P=P→Q(4)P(PQ)=P答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别)2、下列公式中哪些是永真式?()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=PQ(2)PQ=P(3)PQ=PQ(4)P(P→Q)=Q(5)(P→Q)=P(6)P(PQ)=P答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式4、公式x((A(x)B(y,x))zC(y,z))D(x)中,自由变元是(),约束变元是()。答:x,y,x,z(考察定义在公式xA和xA中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在xA和xA的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和zC(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元)5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。()(1)北京是中华人民共和国的首都。(2)陕西师大是一座工厂。(3)你喜欢唱歌吗?(4)若7+8>18,则三角形有4条边。(5)前进!(6)给我一杯水吧!2答:(1)是,T(2)是,F(3)不是(4)是,T(5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。)6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在,换成”,然后将命题的结论否定,“且变或或变且”)7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为()。(1)只有在生病时,我才不去学校(2)若我生病,则我不去学校(3)当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校答:(1)PQ(注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个形式的)(2)QP(3)QP(4)QP8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是()。(1)xy(x+y=0)(2)yx(x+y=0)答:(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:(1)xy(xy=y)()(2)xy(x+y=y)()(3)xy(x+y=x)()(4)xy(y=2x)()答:(1)F(反证法:假若存在,则(x-1)*y=0对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾)(2)F(同理)(3)F(同理)(4)T(对任一整数x存在整数y满足条件y=2x很明显是正确的)10、设谓词P(x):x是奇数,Q(x):x是偶数,谓词公式x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?()(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答:(1)(在某个体域中满足不是奇数就是偶数,在整数域中才满足条件,而自然数子整数的子集,当然满足条件了)11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是()。3答:2不是偶数且-3不是负数。12、永真式的否定是()(1)永真式(2)永假式(3)可满足式(4)(1)--(3)均有可能答:(2)(这个记住就行了)13、公式(PQ)(PQ)化简为(),公式Q(P(PQ))可化简为()。答:P,QP(考查分配率和蕴含等值式知识的掌握)14、谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的辖域是()。答:P(x)yR(y)(一对括号就是一个辖域)15、令R(x):x是实数,Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为()。答:x(R(x)Q(x))(集合论部分)16、设A={a,{a}},下列命题错误的是()。(1){a}P(A)(2){a}P(A)(3){{a}}P(A)(4){{a}}P(A)答:(2)({a}是P(A)的一个元素)17、在0()之间写上正确的符号。(1)=(2)(3)(4)答:(4)(空集没有任何元素,且是任何集合的子集)18、若集合S的基数|S|=5,则S的幂集的基数|P(S)|=()。答:32(2的5次方考查幂集的定义,即幂集是集合S的全体子集构成的集合)19、设P={x|(x+1)24且xR},Q={x|5x2+16且xR},则下列命题哪个正确()(1)QP(2)QP(3)PQ(4)P=Q答:(3)(Q是集合R,P只是R中的一部分,所以P是Q的真子集)20、下列各集合中,哪几个分别相等()。4(1)A1={a,b}(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}(5)A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}(6)A6={x|x2-(a+b)x+ab=0}答:A1=A2=A3=A6,A4=A5(集合具有无序性、确定性和互异性)21、若A-B=Ф,则下列哪个结论不可能正确?()(1)A=Ф(2)B=Ф(3)AB(4)BA答:(4)(差集的定义)22、判断下列命题哪个为真?()(1)A-B=B-A=A=B(2)空集是任何集合的真子集(3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B,则A=B答:(1)(考查空集和差集的相关知识)23、判断下列命题哪几个为正确?()(1){Ф}∈{Ф,{{Ф}}}(2){Ф}{Ф,{{Ф}}}(3)Ф∈{{Ф}}(4)Ф{Ф}(5){a,b}∈{a,b,{a},{b}}答:(2),(4)24、判断下列命题哪几个正确?()(1)所有空集都不相等(2){Ф}Ф(4)若A为非空集,则AA成立。答:(2)25、设A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,则B()C。答:=(等于)26、判断下列命题哪几个正确?()(1)若A∪B=A∪C,则B=C(2){a,b}={b,a}(3)P(A∩B)P(A)∩P(B)(P(S)表示S的幂集)(4)若A为非空集,则AA∪A成立。答:(2)27、A,B,C是三个集合,则下列哪几个推理正确:(1)AB,BC=AC(2)AB,BC=A∈B(3)A∈B,B∈C=A∈C答:(1)((3)的反例C为{{0,1},0}B为{0,1},A为1很明显结论不对)5(二元关系部分)28、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2求(1)R(2)R-1答:(1)R={1,1,4,2}(2)R1={1,1,2,4}(考查二元关系的定义,R1为R的逆关系,即R1={x,y}|y,x∈R)29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。()答:A上的恒等关系30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?()答:自反性、对称性和传递性31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?()答:自反性、反对称性和传递性(题29,30,31全是考查定义)32、设S={1,2,3,4},A上的关系R={〈1,2〉,〈2,1〉,〈2,3〉,〈3,4〉}求(1)RR(2)R-1。答:RR={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}(考查FG={x,y|t(x,t∈Ft,y∈G)})R-1={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={()}R={1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,6,3,6}34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=2y},求(1)R(2)R-1。答:(1)R={1,1,4,2,6,3}(2)R1={1,1,2,4,(36}35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A到B的关系R={〈x,y〉|x=y2},求R和R-1的关系矩阵。6答:R的关系矩阵=000000001000000001R1的关系矩阵=00000001000000000136、集合A={1,2,…,10}上的关系R={x,y|x+y=10,x,yA},则R的性质为()。(1)自反的(2)对称的(3)传递的,对称的(4)传递的答:(2)(考查自反对称传递的定义)(代数系统部分)37、设A={2,4,6},A上的二元运算*定义为:a*b=max{a,b},则在独异点A,*中,单位元是(),零元是()。答:2,6(单位元和零元的定义,单位元:e。x=x零元:θ。x=θ)38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为:a*b=min{a,b},则在独异点A,*中,单位元是(),零元是();答:9,3(半群与群部分)39、设〈G,*〉是一个群,则(1)若a,b,x∈G,ax=b,则x=();(2)若a,b,x∈G,ax=ab,则x=()。答:(1)a1b(2)b(考查群的性质,即群满足消去律)40、设a是12阶群的生成元,则a2是()阶元素,a3是()阶元素。答:6,441、代数系统G,*是一个群,则G的等幂元是()。答:单位元(由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a,所以等幂元一定是幂等元,反之若a^n=a对一切N成立,则对n=2也成立,所以幂等元一定是等幂元,并且在群G,*中,除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元)42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素7答:5,10(若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;我们也说,G是由元a生成的,并且用符号G=a表示,且称a为一个生成元。并且一元素的阶整除群的阶)43、群G,*的等幂元是(),有()个。答:单位元,1(在群G,*中,除幺元即单位元e外不可能有任何别的幂等元)44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。答:循环群,任一非单位元(证明如下:任一元素的阶整除群的阶。现在群的阶是素数p,所以元素的阶要么是1要么是p。G中只有一个单位元,其它元素的阶都不等于1,所以都是p。任取一个非单位元,它的阶等于p,所以它生成的G的循环子群的阶也是p,从而等于整个群G。所以G等于它的任一非单位元生成的循环群)45、设〈G,*〉是一个群,a,b,c∈G,则(1)若ca=b,则c=();(2)若ca=ba,则c=()。答:(1)b1a(2)b(群的性质)46、H,,是G,,的子群的充分必要条件是()。答:H,,是群或a,bG,abH,a-1H或a,bG,ab-1H47、群<A,*>的等幂元有()个,是(),零元有()个。答:1,单位元,048、在一个群〈G,*〉中,若G中的元素a的阶是k,则a-1的阶是()。答:k49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?()(1)a*b=a-b(2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b(4)a*b=|a-b|答:(2)50、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。(1)不可能是群(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交换群答:(1)51、6阶有限群的任何子群一定不是()。8(1)2阶(2)3阶(3)4阶(4)6阶答:(3)(格与布尔代数部分)52、下列哪个偏序集构成有界格()(1)(N,)(2)(Z,)(3)({2,3,4,6,12},|(整除关系))(

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