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计数原理与概率第九章第二节排列与组合返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学1.理解排列与组合的概念．2.理解排列数公式、组合数公式．3.能利用公式解决一些简单的实际问题．02课堂互动·考点突破栏目导航01课前回扣·双基落实返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学01课前回扣·双基落实1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn．按照一定的顺序排成一列所有不同排列的个数返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个________．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__________，记作________．组合组合数Cmn返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学3．排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式Amn＝___________________________＝n！n－m！组合数公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质(1)Ann＝________；(2)0！＝_____(1)C0n＝_____；(2)Cmn＝________；(3)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1备注n，m∈N*且m≤nn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！11Cn－mn返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学1．掌握排列组合的三个原则和两个优先三个原则：(1)有序排列，无序组合；(2)先选后排；(3)复杂问题分类化简或正难则反．两个优先：(1)特殊元素优先；(2)特殊位置优先．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学2．正确理解组合数的性质(1)Cmn＝Cn－mn：从n个不同元素中取出m个元素的方数法等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分为以下两种情况：①不含特殊元素A有Cmn种方法；②含特殊元素A有Cm－1n种方法．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学题组一判断正误⇔VS概念辨析1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)Amn＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．()(3)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立．()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()(5)C22＋C23＋C24＋…＋C2n＝C3n＋1．()×××√√返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学题组二教材改编⇔VS最新模拟2．(P27A组T7改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24解析先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24(种)放法.D返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48种排法.3．(P19例4改编)用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8B．24C．48D．120C返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析由于40个人中每两人之间都要写留言，故为排列问题，则A240＝40×39＝1560(条).4．(2019·山东东营月考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了____________条毕业留言．(用数字作答)1560返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析A35＋C23A25＝120(种).5．(2019·甘肃兰州模拟)某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有__________种(用数字作答).120返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析第一类：甲在最左端，有A55＝120种排法；第二类：乙在最左端，有4A44＝96种排法，所以共有120＋96＝216种排法.1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种02课堂互动·考点突破自主完成考点一排列问题B返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析记其余两种产品为D，E，由于A，B相邻，则视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法．再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法.2．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_________种．36返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学求解排列问题的六种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36种选法.要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有____________种不同选法．考点二组合问题36师生共研返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学[变式探究1]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126种选法．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学[变式探究2]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378种选法．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学[变式探究3]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666种选法．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学[变式探究4]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至多两人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况有C29种，所以共有C512－C29＝756种选法．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学1．解决组合应用题的2个步骤第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理．第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理．2．含有附加条件的组合问题的2种方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学[训练]福建省第十七届运动会将于2019年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有()A．15种B．18种C．20种D．22种D返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C12＝2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况：4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C34＝4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C24＝6(种)情况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．多维探究考点三分组分配问题返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学考向1：整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．解析先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法.90返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学本题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学考向2：部分均分问题将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有____________种．(用数字作答)解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C36C13C12C11A33＝20(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C26C24A22·C12C11A22＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A44＝1560(种).1560返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学本题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学考向3：整体不均分问题若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有____________种不同的分法．解析将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法.360返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学本题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学解析5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有12C25C23A33＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C35A33＝60种方法．由分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法.[训练](2019·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A．240种B．180种C．150种D．540种C返回导航第九章计数原理与概率第1轮·数学核心素养系列(五十一)数学建模——排列组合问题中的核心素养用排列组合解决实际问题的关键是排列组合模型，将实际问题抽象