差分方程模型习题+答案

1.一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？分析：(1)假设k个月后尚有kA元，每月取款b元，月利率为r，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程：1kkAaAb，其中a=1+r(1)每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出kA的值。(2)多少岁时将基金用完，何时0kA由（1）可得：01kkkaAAabr若0nA，01nnAraba(3)若想用到80岁，即n＝(80-60)*12=240时，2400A，24002401Araba利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：clearallcloseallclcx0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n)';y1=dai(x0,n,r,b);round([k,y1'])functionx=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)-b;end(2)用MATLAB计算：A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240思考与深入：(2)结论：128个月即70岁8个月时将基金用完(3)A0=1.5409e+005结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2…在r=0.005及x0=100000代入，用MATLAB计算得结果。编写M文件如下:functionx=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB计算并作图:k=(1:140)';y=exf11(100000,140,0.0005,-1000);所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。如果要10年即n=120还清，则模型为：r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^nb=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]用MATLAB计算如下：x0=100000;r=0.005;n=120;b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n]b=1.1102e+003所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。3.在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为2r；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为2a。建立差分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出50年的变化过程。(1)设12120.2,0.3,0.001,0.002,rraa开始时有100只田鼠和50只猫头鹰。（2）1212,,,rraa同上，开始时有100只田鼠和200只猫头鹰。（3）适当改变参数12,aa（初始值同上）（4）求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第k代田鼠数量为kx，第k代猫头鹰数量为ky，则可列出下列方程：111122()()kkkkkkkkxxrayxyyraxy运用matlab计算，程序如下：functionz=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;fork=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=[x',y'];(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;plot(1:50,z(:,2),'r')(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;plot(1:50,z(:,2),'r')(3)当a1,a2分别取0.002,0.002时，得到如下图像：05101520253035404550050100150200250300350400450可见，当a1,a2参数在一定范围内改变时，猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡，且不灭绝。(4)令1kkxxx；1kkyyy解方程得到如下结果：x=150y=200经matlab验证如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1));holdon;plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡点为：x=150y=2004.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1．草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；2．草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3．鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4．假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5．每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿的年补偿作用为b；第k＋1年草的密度为1kx，鹿的数量为1ky，第k年草的密度为kx，鹿的数量为ky。草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增长差分模型为1(1)kkkkxxxrxN，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程：1(1),(0,1,2,)kkkkkkxaxyxxrxkNN（1）鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为1kkkyydy，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：1(),(0,1,2,)kkkkbxyydykN（2）另外，记初始状态鹿的数量为0y，草场密度初值为0x，各个参数值为：，，，，利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量functionB=disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n)%描述diwuti-Logistic综合模型的函数x(1)=x0;%草场密度赋初值y(1)=y0;%鹿群数量赋初值fork=1:n;x(k+1)=x(k)+r*(1-x(k)/N)*x(k)-a*x(k)*y(k)/N;y(k+1)=y(k)+(-d+b*x(k)/N)*y(k);endB=[x;y];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clearallC1=disiti(1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2=disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k=0:50;plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r')axis([05003000]);xlabel('时间/年')ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头')title('图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线')gtext('x0=1000')gtext('x0=3000')gtext('草场密度')gtext('鹿群数量')比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，当(,)(1800,600)kkkyy，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（2）改变鹿的数量初值由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－15区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。（4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。（5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（b变化）从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草－鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5.Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？分析：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k),2到4周虫的数量为：x2(K),4到6周虫数量为：x3(K)。据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150x2(k+1)=x1(k)*0.09x3(k+1)=x2(k)*0.2运用matlab编写的程序如下：functionz=diwuti(a,r1,r2,n)x(1)=a;y(1)=a;w(1)=a;fork=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=[x',y',w'];fork=1:n+1m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);holdonplot(1:n+1,y,'r');