一次函数讲义(解析式和面积)

一次函数（解析式和面积）一、函数1.定义（1）在变化过程中有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；（3）自变量的每一个确定值，函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。2.自变量的取值范围（1）整式时，自变量取全体实数；（2）分式时，自变量使分母不为零；（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数；（4）实际问题中，要使实际问题有意义；（5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。二、一次函数（——正比例函数）1.定义（1）函数为一次函数其解析式可化为ykxb（,kb为常数，0k）的形式。（2）一次函数ykxb结构特征：0k；自变量x次数为1；常数b可为任意实数。（3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数。（4）若0k，则yb（b为常数），这样的函数叫做常函数，它不是一次函数；若0b，则y=kx（k为常数），这样的函数叫做正比例函数。2.图像一次函数的图像是一条直线，确定两点，便能确定其图像。3.性质（1）增减性：0k时，y随着x的增大而增大；0k时，y随着x的增大而减小。（2）图像位置：直线ykxb过两个象限或三个象限，由,kb的符号共同决定。回忆巩固：1.求出下列函数中自变量x的取值范围（1）112yx（2）21xyx（3）21yx（4）521yx2.已知23(2)3mymx，当m为何值时，y是x的一次函数？3.已知一次函数(2)(1)ymxm，若y随x的增大而减小，且该函数图象与x轴的交点在原点右侧，求m的取值范围。4.若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1x2时，y1y2，则求m的取值范围。（一）求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤：设：设一般式y=kx+b(k≠0)；列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）；解：解出k、b；写：写出一次函数的解析式.例、已知一次函数的图象经过点Ａ（－３，－２）和点Ｂ（１，６）；（1）求此一次函数解析式；（2）分别求出此函数图象与x轴和y轴的交点坐标。例、已知一次函数的图象平行于直线y=-3x+4，且经过点Ａ（1，-２）。（1）求此一次函数解析式；（2）分别求出此函数图象与x轴和y轴的交点坐标。ABCl1l2hh跟踪训练1：1.已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，-1），求这个函数的解析式2.已知直线y=kx+b经过点（9,0）和（24,20），求k，b的值。跟踪训练2：已知直线1ykxb与2y2x平行，且直线1y在y轴上的截距为2，求直线1y的解析式。练习巩固：1.已知直线:32Lyx，现有4个命题：①点3(,0)2P在直线L上；②直线L可以由直线31yx向上平行移动1个单位长度得到；③若点1(,1)3M、(,)Nab都在直线L上，且13a，则1b；④若点Q到两坐标轴的距离相等，且点Q在直线L上，则点Q在第一或第四象限。其中正确的命题是__________________。2.已知一次函数(8)(6)ymxn，求：（1）,mn为何值时，y随x的增大而增大？（2）,mn为何值时，函数与y轴的交点在x轴上方？（3）,mn为何值时，图象过原点？（4）若图象经过第一、二、三象限，求,mn的取值范围。（5）分别求出函数与x轴、y轴的交点坐标。（二）、面积计算一、知识点睛1.处理面积问题的三种思路：①_________（规则图形）；②_________（分割求和、补形作差）；③_________（例：同底等高）；如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线．．l．1．，．l．2．上．2.函数背景下处理面积问题，要利用_______________的特点．二、精讲精练1.如图，直线53ykx经过点A（-2，m），B（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．2.如图，直线112yx经过点A（1，m），B（4，n），点C（2，5），求△ABC的面积．yxCBAOxyBOA3.如图，直线y=kx-2与x轴交于点B，直线y=12x+1与y轴交于点C，这两条直线交于点A（2，a），求四边形ABOC的面积．4.如图，直线112yx与x轴、y轴分别交于A，B两点，C（1，2），坐标轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，直线313yx与x轴、y轴分别交于点A，B两点，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点．（1）求Rt△ABC的面积；yxCBAOxyOCBA1xABCyO（2）若S△ABP=S△ABC，求点P的坐标．6.如图，直线PA：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积；（2）直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．面积专题（随堂测试）1．如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，坐标轴上是否存在一点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；xyQOABPyxCBAO面积专题1．如图，直线26yx经过点A（-4，m），B（12，n），点C（-2，10），求△ABC的面积．2．如图，直线l1：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2：132yx与x轴、y轴分别交于C，D两点．（1）求四边形ABCD的面积；（2）设直线l1，l2交于点P，求△PAD的面积．4.如图，直线313yx与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．（1）求△ABC的面积；yxCBAOl2l1OAByxPDCy=12OACBxy（2）如果点P是直线12y上的动点，当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标．3.如图，直线6ykx与x轴、y轴分别交于点,EF，点E的坐标为(8,0)，点A的坐标为(6,0)。（1）求k的值；（2）若点(,)Pxy是第二象限内直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点P运动到什么位置时，OPA的面积为278，并说明理由。5.23yx与x轴交于点A，直线3yx与x轴交于点B，且两直线直线的交点为点C,求△ABC的面积。6.已知正比例函数y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像交于点P（3，-6）。（1）求k1和k2的值；（2）如果一次函数y=k2x-9的图像与x轴交于点A，求AOP的面积。xyOFEA