(整理)泰勒公式及其应用90433

精品文档精品文档泰勒公式及其应用1引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能。常见函数的展开式：2+1=1+++....++2!!(+1)!nxxnxxeexxnnα352+12+2sin=+...+(1)+()3!5!(2+1)!nnnxxxxxoxn-24622cos=1++....+(1)+()2!4!6!(2)!nnnxxxxxoxn.23ln(1)23xxxx+=-++…1()nnnxn-+(-1)+ox2(1)(1)12mmmxxx-+=+m+!…+(1)(1)nmmmnxn-?-+!()n+ox21=1+++...++()1nnxxxoxx.3.1利用泰勒公式求极限例1求极限1sin2limsincosxxxxxxxxe→0----.分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cosx和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解：由1sin2xxxxe---=233331()())2626xxooxxxxx++++-1-x-(x-+精品文档精品文档=34333()()6126ooxxxxx++=+,3233sincos()(1())62xxxoxoxxxx-x=-+--+33()3oxx=+于是1sin2limsincosxxxxxxxxe→0----3333()162()3ooxxxx+==+，2.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3.3511)xxxdx+∞判断广义积分∫（++--2的收敛性。111111xxxxxx解：++--2=（++--2),1111xx利用泰勒公式将+,-展开：2211(1)11112211(),22oxxxx-+=+++!2211(1)11112211(),22oxxxx--=-++!22221111(1)(1)1111112222111()1()22222xxxxooxxxxxx--++--2={++++-++-}!!3322321111lim1144xxxxxxx→+∞|++--2|=-+o(),因此=|-|精品文档精品文档由于53214x+∞∫收敛，所以511)xxxdx+∞∫（++--2的收敛3.,4判断（0）是否是xx-ƒ(x)=e+e+2cosx的拐点？解：()2sin,xxxx´-ƒ=e-e-(0)´ƒ0=()xxx´´-ƒ=e-e-2cosx,(0)0´´ƒ=()2sin,xxxx´´´-ƒ=e-e+(0)´´´ƒ=0(4)(),xxx-ƒ=e-e-2cosx(4)(0)ƒ=4≠0因为n=4，所以,4（0）不是xx-ƒ(x)=e+e+2cosx的拐点。4.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过泰勒展开式：200000()()()()()()2fxfxfxfxxxxx´´´=+-+-!+……00()()nnfxxxn+-!+……可以求得。例3.6求函数()xfxe=的幂级数展开式.解：由于()nxfxe=，(0)nf=1，（n=1,2,3……）所以f的拉格朗日余项为1(),(01)(1)xnnexxnθ+R=θ+!，显见1()(1)xnnexxn+|R|≦||+!它对任何实数x，都有1lim0(1)xnxexn||+→∞||=+!因而lim()0nxx→∞R=，所以有12xexx=1+++!……1nxn++!……，()x∈-∞,+∞。精品文档精品文档5.利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(xf麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!nnfffxffxxxn≈++++,其误差是余项()nRx.6.计算lg11的值,准确到5-10解:111lg11lg(101)1lgln)10ln1010=+=+(1+)=1+(1+因为23ln(1)23xxxx+=-++……+1nnxn-(-1)n+(-1)11(1)(1)nnxnx++++θ，1x0θ1,-,要使(1)1(1)10(1)(1)ln1010nnnn-++-||θ++5102(1)n-n+1-10+⇒542(1)1010nn-(n+1)-+=取4n=，故11111lg111ln1010200300040000≈+(-++)≈1.041397.估计下列近似公式的绝对误差：211,28xxxx+≈+-∈[0,1]解：21128xxx+≈+-+……+1(23)2nnnnxn--!!(-1)!1(2)2(1)nnnn+-1!!+(-1)+!112(1),01nxx-n-++θθ当2n=时，233()23Rx||=!532)xx-|(1+θ|≦5211)1616-(1+θ≦精品文档精品文档8.利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项0()nxx-的系数正是)(!10)(xfnn,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例2.9设2()ln(1),fxxx=+求()(0),(3)nfn≧由ln(1)x+得泰勒公式：23ln(1)23xxxx+=-++…1()nnnxn-+(-1)+ox可得：232()23xxfxxx=[-++…1()nnnxn-+(-1)+ox]，(0)x→432xx=-+…()2nnnxn-3+(-1)+ox-，(0)x→所以()(0)2nnfn-3(-1)=n!-12321(1)()()()()()()1!2!(12)(1)21()()(1)!!nnnnnnnnnfxzzyzzyxzzzyxznnnnzxzxznn-----=-+--+----.++-+--若zy=,有1()()[(1)]nnfxxyxny-=-+-,若zy≠,有()()()nnnzxyyxzfxzy---=-.