八年级数学期末难题压轴题

26．（本题满分10分）已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（5分）（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；（5分）DCABE(第26题图1)FHGDCABE(第26题图2)FHG26．解：（1）如图①，过点G作GMBC于M.…………………………………………（1分）在正方形EFGH中，90,HEFEHEF.…………………………………………………………（1分）90.90,.AEHBEFAEHAHEAHEBEF又∵90AB，∴⊿AHE≌⊿BEF…………………………………………………………（1分）同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.…………………………………………………………（1分）∴GM=BF=AE=2.∴FC=BC-BF=10.…………………………………………………………（1分）（2）如图②，过点G作GMBC于M.连接HF.…………………………………………（1分）//,.//,.ADBCAHFMFHEHFGEHFGFH.AHEMFG…………………………………………………（1分）又90,,AGMFEHGF∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………………………………………（1分）∴GM=AE=2.……………………………………………………………（1分）11(12)12.22GFCSFCGMaa…………………………………………（1分）如图，直线343yx与x轴相交于点A，与直线3yx相交于点P.(1)求点P的坐标.(2)请判断△OPA的形状并说明理由.(3)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B.设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式.FBEPAOxy(备用图）PAOxy解：（1）3433yxyx解得：223xy………………………1′∴点P的坐标为（2，23）………………………1′（2）当0y时，4x∴点A的坐标为（4，0）………………………1′∵222234OP22(24)(230)4PA……………1′∴OAOPPA∴POA是等边三角形………………………1′（3）当0＜t≤4时，………………………1′21328SOFEFt………………………1′当4＜t＜8时，………………………1′23343838Stt………………………1′xyy=xAQPO25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A0,2，P是函数0xxy图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）.（1）试证明：AP=PQ；（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_______；（3）当APQAOQSS32时，求点P的坐标.证：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，∵点P在函数xy0x的图像上，∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1分）又∵AP⊥PQ，∴∠APH=∠QPT，又∠PHA=∠PTQ，∴⊿PHA≌⊿PTQ,------------------------------------------------------（1分）∴AP=PQ.---------------------------------------------------------------（1分）(2)22ab.-------------------------------------------------------------（2分）（3）由（1）、（2）知，2221aOQOASAOQ，222122aaAPSAPQ，------------（1分）∴2232222aaa，解得255a，--------------------------------------------------------（1分）所以点P的坐标是255,255与255,255.---（1分）]26．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明．26．（1）解：AF=DE21，…………………………………………………………………（1分）证明如下：联结BD交AC于点O，…………………………………………………（1分）∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO，∵BF=EF，∴OF=21DE，OF//DE．………………………………………（1分）（第26题）ABCDEFABCDEF图1图2∵BD⊥AC，∴∠DEO=∠AOB=90º，…………………………………（1分）∵∠ODA=∠OAD=459021，EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=45º，∴∠OAD=∠OED=∠AOD=90º，∴四边形AODE是正方形．………………………………………………（1分）∴OA=DE，∴OF=21AO，∴AF=AO21DE21．………………………（1分）（2）解：AF+BF=EF、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一个，BF=)31(AF、EF=)32(AF、BF=（)13EF也认为正确）．…………………………（1分）AF+BF=EF的证明方法一：联结BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，联结DG．与第（1）同理可证∠GDA=45º，……………………………………………（1分）∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴∠GDE=60º–45º=15º．∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90º+60º=150º，∴∠ABE=∠AEB=152150180，∴∠ABF=∠GDE．又∵∠DEG=∠DEA–∠AEB=60º–15º=45º=∠BAC，DE=AD=AB，∴△ABF≌△EDG，……………………………………………………………（1分）∴EG=AF，∴AF+BF=EG+FG=EF．……………………………………………（1分）AF+BF=EF的证明方法二（简略）：在FE上截取FG=AF，联结AG．证得△AFG为等边三角形．………………（1分）证得△ABF≌△AEG．……………………………………………………………（1分）证得AF+BF=EF．………………………………………………………………（1分）AF2+EF2=2BF2的证明方法（简略）：作BG⊥BF，且使BG=BF，联结CG、FG，证得△BGC≌△BFA．…………（1分）证得FC=FE，FG=BE2，……………………………………………………（1分）利用Rt△FCG中，得出AF2+EF2=2BF2．……………………………………（1分）27．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分,第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP.（1）求梯形OABC的面积；（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；（3）当∆OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）OABCPxy27．如图已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x34的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒)0(t．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是QA=QP的等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝－x+7与正比例函数xy34的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴y＝－x+7，0＝x+7，∴x＝7，∴B点坐标为：（7，0），----------------------------1分∵y＝－x+7＝x34，解得x＝3，∴y＝4，∴A点坐标为：（3，4）；-------------------1分（2）①当0＜t＜4时，PO＝t，PC＝4－t，BR＝t，OR＝7－t，--------------1分过点A作AM⊥x轴于点M∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，∴S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，∴21（AC+BO）×CO－21AC×CP－21PO×RO－21AM×BR＝8，∴（AC+BO）×CO－AC×CP－PO×RO－AM×BR＝16，∴（3+7）×4－3×（4－t）－t×（7－t）－4t＝16，∴t2－8t+12＝0.-----------------1分解得t1＝2，t2＝6（舍去）.--------------------------------------------------------------------1分当4≤t≤7时，S△APR＝21AP×OC=2（7－t）＝8，t=3(舍去)；--------------1分∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；②存在．当0＜t≤4时,直线l与AB相交于Q，∵一次函数y＝－x+7与x轴交于B（7，0）点，与y轴交于N（0，7）点，∴NO＝OB，∴∠OBN＝∠ONB＝45°.∵直线l∥y轴，∴RQ＝RB=t，AM=BM=4∴QB=t2,AQ=t224----------------1分∵RB＝OP＝QR＝t，∴PQ//OR,PQ=OR=7-t--------------------------------------1分∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，且QP=QA，∴7-t=t224，t=1-32（舍去）--------------------------------------------1分当4＜t≤7时，直线l与OA相交于Q，若QP＝QA，则t－4+2（t－4）＝3，解得t＝5；---------------------------------------1分∴当t=5，存在以A、P、Q为顶点的三角形是PQ＝AQ的等腰三角形．已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图10），①求证：PB=PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．27．（1）①证：过P作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N∵正方形ABCD，∴PM=AM，MN=AB，从而MB=PN………………………………（2分）∴△PMB≌△PNE，从而PB=P