二次函数七大综合专题

二次函数七大综合专题二次函数与三角形的综合题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。（2016•益阳第21题）如图，顶点为(3,1)A的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．xy考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。解析：（1）∵抛物线顶点为(3,1)A，设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1yax，将原点坐标（0，0）代入表达式，得13a．∴抛物线对应的二次函数的表达式为：212333yxx．（2）将0y代入212333yxx中，得B点坐标为：(23,0)，设直线OA对应的一次函数的表达式为ykx，将(3,1)A代入表达式ykx中，得33k，∴直线OA对应的一次函数的表达式为33yx．∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为33yxb，将B(23,0)代入33yxb中，得2b，∴直线BD对应的一次函数的表达式为323yx．由232312333yxyxx得交点D的坐标为(3,3)，将0x代入323yx中，得C点的坐标为(0,2)，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD,23OBOD．在△OAB与△OCD中，OAOCABCDOBOD，∴△OAB≌△OCD．（3）点C关于x轴的对称点C的坐标为(0,2)，则CD与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．过点D作DQ⊥y，垂足为Q，则PO∥DQ．∴CPO∽CDQ．∴POCODQCQ,即253PO，∴235PO，∴点P的坐标为23(,0)5．二次函数与平行四边形的综合题例1：如图，对称轴为直线x=27的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A、B两点坐标代入求解即可．（2）平行四边形的面积为三角形OEA面积的2倍，因此可根据E点的横坐标，用抛物线的解析式求出E点的纵坐标，那么E点纵坐标的绝对值即为△OAE的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE的面积与x的函数关系式进而可得出S与x的函数关系式．①将S=24代入S，x的函数关系式中求出x的值，即可得出E点的坐标和OE，OA的长；如果平行四边形OEAF是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF是否为菱形．②如果四边形OEAF是正方形，那么三角形OEA应该是等腰直角三角形，即E点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E点．【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，设解析式为y=a（x﹣）2+k．把A，B两点坐标代入上式，得，解得a=，k=﹣．故抛物线解析式为y=（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线，∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．化简，得（x﹣）2=．解得x1=3，x2=4．故所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），点E1（3，﹣4）满足OE=AE，所以平行四边形OEAF是菱形；点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，所以平行四边形OEAF不是菱形；②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的性质、菱形和正方形的判定等知识．综合性强，难度适中．（2016•泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【考点】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点OyxPGFNMEDCBA图1M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题（2016•重庆第26题）如图1，二次函数1x2-x21y2的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0,1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO︰S四边形AONB=1︰48。（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD//x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+22BH的值最小，求点H的坐标和GH+22BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3,4），将二次函数1x2-x21y2沿直线BC平移，平移的距离是t(t≥0)，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A/，点C/；当△A/C/K是直角三角形时，求t的值。参考答案：（1）∵点A的坐标为(0,1)，∴AO=1。∵S△AMO︰S四边形AONB=1︰48，∴S△AMO︰S△BMN=1︰49。由△AMO∽△BMN可知，AO︰BN=1︰7。∴BN=7。RJHQOyxPGFNMEDCBA令y=7，则1x2-x2172，解得x1=6，x2=-2。∵点B在第一象限，∴点B的坐标为(6,7)。………（1分）将点A(0,1)，B(6,7)代入y=kx+b中得，7bk61b，解得1b1k∴直线AB的解析式为y=x+1。………（2分）∵点C是二次函数图象的顶点，∴点C的坐标为(2,-1)。………（3分）设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，将点B(6,7)，C(2,-1)代入得，nm21nm67，解得5n2m。∴直线BC的解析式为y=2x-5。………（4分）（2）设点P的坐标为(a,a+1)。则点D的坐标为(3a21,a+1)。∴PE=a+1，PD=(3a21)-a=a213。设直线BC与x轴的交点为点Q，由△PDF∽△BQN可知，522577PDPF，∴PF=)a6(55。………（5分）∴PE·PF=(a+1)·)a6(55=556a5a552。∵0a6，∴当x=25)55(25时，PE·PF有最大值。此时点P的坐标为(25,27)。把y=27代入二次函数1x2-x21y2中得，1x2-x21272解得x1=-1，x2=5。∴点G的坐标为(5,27)。………（6分）过点B作BR∥x轴交y轴于R，点H是线段AB上一点，作HJ⊥BR于点J，连接GH。C/A/TKOyxCBA∴∠JBH=∠AMO=45°，JH=22BH，GH+22BH=GH+HJ。当点G，H，J三点在同一条直线上时，GH+22BH的值最小。此时点H的坐标为(5,6)，………（7分）GH+22BH的值最小为27。………（8分）（3）过点A作AT∥BC，平移过程中AC=A/C/=22，CC/=AA/=t。设点C/的坐标为(2t55,1t552)则点A/的坐标为(t55,1t552)∵点K的坐标为(3,4)∴A/K2=18t5518t2，C/K2=26t5522t2，(A/C/)2=8。①当A/C/为斜边时，8=(18t5518t2)+(26t5522t2)解得t1=252或t2=252。………（10分）②当A/K为斜边时，18t5518t2=8+(26t5522t2)解得t=54。………（1