函数定义域和值域的求法

函数与基本初等函数知识网络函数的定义域与值域课前热身激活思维1.(2008·山东卷文改编）设函数f（x）=221,1,2,1,xxxxx则1()2ff=___________.［答案］1516［解析］∵f(2)=22+2-2=4,∴1(2)f=14,f（14）=1-（14）2=1516.∴1()(2)ff=1516.2.(2009·江西卷文）函数y=234xxx的定义域为___________.［答案］{x|-4≤x0或0x≤1}［解析］由20,4001340,xxxxx得或.3.(2008·江西卷文）若函数y=f（x）的定义域是［0,2］，则函数g(x)=(2)1fxx的定义域是___________.［答案］［0,1)［解析］因为f（x）的定义域为［0，2］，所以对于g(x)中，0≤2x≤2且x≠1,故x∈［0,1).4.函数y=221xx的定义域是___________，值域是___________.［答案］R，［0,1)［解析］定义域是R.当x=0时，y=0；当x≠0时，2221.111xyxx.∵x20,21x0,∴1+21x1，∴0211x1.∴0y1，即原函数的值域是［0,1).知识梳理1.函数的定义域（1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.（2）分式中分母应不等于0，偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中,x∈R，零指数幂中底数不等于0，负分数指数幂中底数应大于0.（3）对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.（4）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.2.函数的值域求函数值域比求函数定义域要复杂得多，求函数值域常和求函数最值问题紧密相联，历届高考试卷中一般都出现，要适当注意.不过从近年的出题趋势来看，函数的值域问题考查的一般不是太难.求函数值域主要有以下一些方法：（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).（4）单调函数常根据函数的单调性求得值域.（5）很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.（6）有些函数具有明显的几何意义,可根据解析几何的知识利用数形结合的方法求值域.（7）只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.课堂导学知识点1求相关函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f（x）=231xx+lg(3x+1)；（2）f（x）=221(21)xxgx+(3-2x)0.［解答］（1）由题意可得10,1310,3xx解之得x1，即原函数的定义域为1,13.（2）由题意可得202,20,1,210,21,211,3320,,2xxxxxxxxx解之得即12x≤2且x≠1和32，∴原函数的定义域为133,11,,2.222［精要点评］会求函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础，求解时要注意找全限制条件，并正确取出各部分的公共部分，且最后结论一定要写成集合或区间的形式.【变式拓展】求函数f（x）=225x+lgsinx的定义域.［解答］由题意可得255250,22,sin0,xxkxkkxz解之得,∴原函数的定义域为［-5,-π)∪（0,π）.【备讲例题】已知函数f（x）的定义域为11,22，求函数212yfxx的定义域.［解答］∵-12≤x2-x-12≤1220xx2x-x-10,,1515,2201,xxx或所求函数的定义域是1515,01,.22知识点2函数的定义域的应用【例2】若函数222(1)(1)1yaxaxa的定义域为R，求实数a的取值范围.［思维引导］可先求出使函数有意义的不等式(组)，再对其中的参数进行分类讨论使问题获解.［解答］由题意知当x∈R时，（a2-1）x2+（a-1）x2+21a≥0恒成立.①当a2-1=0，即210,10aa时，得a=1，此时有(a2-1)x2+(a-1)x+21a=1.可知当x∈R时，（a2-1）x2+（a-1）x+21a≥0恒成立.②当a2-1≠0，即22210,2(1)4(1)01aaaa时，有221,1090,aaa解得1a≤9.综上所述，使得函数y的定义域为R的a的取值范围是［1,9］.［精要点评］解决本题关键的是理解函数的定义域是R的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论.【变式拓展】已知函数f（x）=32313xaxax的定义域是R，求实数a的取值范围.［解答］由a=0或20,4(3)0,aaa解得-12a0,即a∈（-12，0］.【备讲例题】记函数f（x）=321xx的定义域为A,g(x)=lg［(x－a－1)(2a－x)］(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA,求实数a的取值范围.［解答］(1)由题意知3201xx且x+1≠0，解得31xx≥0，即x－1或x≥1，∴A=(－∞,－1)∪［1,+∞）.(2)由(x－a－1)(2a－x)0,得(x－a－1)(x－2a)0.∵a1，∴a+12a，∴B=(2a,a+1).∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥12或a≤－2.又a1，∴12≤a1或a≤－2.所以当BA时,实数a的取值范围是(－∞,－2］∪1,12.知识点3求函数的值域【例3】求下列函数的值域：（1）y=3x2-x+2,x∈[1,3];（2）y=312xx;（3）y=x+41x;（4）y=22121xxx(x12).［思维引导］函数的值域问题是函数知识的重要组成部分，它蕴含的思想方法丰富，不同类型函数模型的值域问题有不同的解法，要视具体问题而定.［解答］（1）（配方法）∵y=3x2-x+2=32123,612x，∴函数y=3x2-x+2在［1,3］上单调增.∴当x=1时，原函数有最小值为4；当x=3时，原函数有最大值为26.∴函数y=3x2-x+2，x∈［1,3］的值域为［4,26］．（2）（分离变量法）y=313(2)722xxxx=3+72x，∵72x≠0，∴3+72x≠3.∴函数y=312xx的值域为{y|y∈R且y≠3}．（3）（换元法）设t=1x≥0，则x=1-t2，∴原函数可化为y=1-t2+4t=-（t-2）2+5（t≥0），∴y≤5，∴原函数的值域为(-∞,5］．（4）（基本不等式法）y=22121xxx=(21)121xxx=x+121x=x-12+112122x，∵x12，∴x-120，∴x-12+1212x≥1122()212()2xx，当且仅当x-12=1212x，即x=122时等号成立．∴y≥122.∴原函数的值域为12,2．［精要点评］配方法、分离变量法和三角代换是求解常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法.【变式拓展】已知f（x）=12(x-1)2+1的定义域和值域均为[1,b](b1),求b的值.［解答］∵f（x）的对称轴为x=1且开口向上，∴f（x）在［1,b］上单调递增，则当x=1时，f(x)min=1；当x=b时，f(x)max=b，即12（b-1）2+1=b，解得b=1或b=3.又b1，∴b=3.【备讲例题】若函数f（x）=21axxc的值域为［－1，5］，求实数a、c的值.［解答］由y=f（x）=21axxc，得yx2－ax+cy－1=0.当y=0时，ax=－1，∴a≠0.当y≠0时，∵x∈R，∴Δ=a2－4y（cy－1）≥0.∴4cy2－4y－a2≤0.又∵－1≤y≤5，∴－1、5是方程4cy2－4y－a2=0的两根.∴214,5,4cac,∴5,1.4ac,规范答题赏析（2009·淮安市十月四校联考)(本小题满分14分）已知命题p:f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R，命题q：关于x的不等式x+|x-2a|1的解集为R.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.［规范解答］当p为真命题时，Δ=a2-40，……………………………………………2分解得：-2a2.……………………………………………………………………………………4分当p为真命题时，令g（x）=x+|x-2a|=22,2,2,2,xaxaaxa∴g（x）min=2a.…………………………………………………………………………………6分∵x+|x-2a|1的解集为R，∴2a1,即a12.……………………………………………………7分又“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q中一真一假，……………………………………8分∴22,22,11.22aaaaa或或…………………………………………………………12分f∴-2a≤12或a≥2.∴a的取值范围是12,2∪［2,+∞).…………………………………14分