江苏高考数学二轮复习专题七第2讲(必)概率分布、均值与方差学案理

第2讲概率分布、均值与方差高考定位高考对本内容的考查主要有：n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.真题感悟(2017·江苏卷)已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n).123…m＋n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)n（m＋n）（n－1）.(1)解编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p＝Cn－1m＋n－1Cnm＋n＝nm＋n.(2)证明随机变量X的概率分布为：X1n1n＋11n＋2…1k…1m＋nPCn－1n－1Cnm＋nCn－1nCnm＋nCn－1n＋1Cnm＋n…Cn－1k－1Cnm＋n…Cn－1n＋m－1Cnm＋n随机变量X的数学期望为：E(X)＝k＝nm＋n1k·Cn－1k－1Cnm＋n＝1Cnm＋nk＝nm＋n1k·（k－1）！（n－1）！（k－n）！.所以E(X)1Cnm＋nk＝nm＋n（k－2）！（n－1）！（k－n）！＝1（n－1）Cnm＋nk＝nm＋n（k－2）！（n－2）！（k－n）！＝1（n－1）Cnm＋n(1＋Cn－2n－1＋Cn－2n＋…＋Cn－2m＋n－2)＝1（n－1）Cnm＋n(Cn－1n－1＋Cn－2n－1＋Cn－2n＋…＋Cn－2m＋n－2)＝1（n－1）Cnm＋n(Cn－1n＋Cn－2n＋…＋Cn－2m＋n－2)＝…＝1（n－1）Cnm＋n(Cn－1m＋n－2＋Cn－2m＋n－2)＝Cn－1m＋n－1（n－1）Cnm＋n＝n（m＋n）（n－1），即E(X)n（m＋n）（n－1）.考点整合1.概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：①离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；②离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；③性质：pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1.(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)：符号表示：X～0－1分布；②超几何分布：符号表示：X～H(n，M，N)；概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCMN；③二项分布(又叫独立重复试验，伯努利试验)：符号表示：X～B(n，p)；概率分布列：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n)＝1.2.期望与方差(1)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).若X～H(n，M，N)，则E(X)＝MNn.热点随机变量的分布列及其数学期望【例1】(2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ).解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是ξ012P411611111因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.【例2】(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k3C37(k＝0，1，2，3).所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥.由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝67.所以，事件A发生的概率为67.探究提高求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算.【训练】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是E(X)＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.2.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.1.(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.2.(2018·南京、扬州、淮安等七市调研)将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1，2，3，4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X表示放在2号抽屉中书的本数，求X的分布列和数学期望E(X).1234解(1)将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44＝256(种)不同放法.记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A，则事件A共包含A44＝24(个)基本事件，所以P(A)＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)法一X的所有可能取值为0，1，2，3，4，P(X＝0)＝3444＝81256，P(X＝1)＝C14×3344＝2764，P(X＝2)＝C24×3244＝27128，P(X＝3)＝C34×344＝364，P(X＝4)＝C4444＝1256.所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望为E(X)＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1.法二每本书放入2号抽屉的概率为P(B)＝14，P(B－)＝1－14＝34.根据题意X～B4，14，所以P(X＝k)＝Ck414k·344－k，k＝0，1，2，3，4，所以X的分布列为X01234P812562764271283641256所以X的数学期望为E(X)＝4×14＝1.3.(2016·扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的概率分布和数学期望E(X).解(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64(种)不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A34＝24(个)基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)法一X可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝3343＝2764，P(X＝1)＝C13×3243＝2764，P(X＝2)＝C23×343＝964，P(X＝3)＝C3343＝164.所以X的概率分布为X0123P27642764964164所以X的数学期望E(X)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.法二甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X～B3，14，所以P(X＝k)＝Ck314k343－k，k＝0，1，2，3，所以X的概率分布为X0123P27642764964164所以X的数学期望E(X)＝3×14＝34.4.(2018·无锡期末)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A，