奶制品的生产与销售

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资源描述

奶制品的生产与销售问题重述一加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在甲设备上用12小时生产成3公斤A1,或者在乙设备上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求,生产的A1,A2全部可以销售出去。每公斤A1可获利24元,每公斤A2获利16元。现在加工厂每天可以有50桶牛奶,每天正式工人总劳动时间为480小时,且甲类设备每天至多加工100公斤A1,乙类设备的加工能力没有上限。为该厂制定一个加工计划,使每天获利最大。附加问题1)如用35元买到一桶牛奶,是否作该项投资?若投资,每天至多购买多少桶牛奶?2)如可以聘请临时工人以增加劳动时间,付给临时工人的工资最多每小时几元?3)由于市场需求变化,每公斤A1获利增加到30元,是否改变生产计划?问题分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大,要作的决策是生产计划,即每天用多少桶牛奶生产A1,用多少桶牛奶生产A2,决策受到3个条件的限制:原料的供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。按题目所给,将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来,可得到下面模型。基本模型变量符号的说明:x1:每天生产A1的桶数x2:每天生产A2的桶数z:每天的获利目标函数:x1桶牛奶可生产3x1公斤A1,获利24乘以3x1,x2桶牛奶可生产34x2公斤A2,获利16乘以4x2,故z=72x1+64x2。约束条件:原料的供应生产A1,A2两种奶制品的原料不可以超过每天的供应量,即x1+x2〈=50桶;劳动时间生产A1,A2的总加工时间不得超过每天正式工人的工作时间,即12x1+8x2〈=480小时;设备能力A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力,即3x1〈=100;非负约束条件x1,x2均不能为负数,即x1〉=0,x1〉=0。综上可得z=72x1+64x2(1)x1+x2〈=50(2)12x1+8x2〈=480(3)3x1〈=100(4)x1〉=0,x1〉=0(5)这就是该问题的基本模型。模型分析与假设从上面我们知道,这是一个线性规划模型。模型假设1)A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们各自产量无关的常数;2)A1,A2两种奶制品每公斤的获利是与他们相互间产量无关的常数,每桶牛奶加工出A1,A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数;3)加工A1,A2的牛奶的桶数可以是任意实数。这三条假设保证了比例性,可加性,连续性的成立。模型求解图解法这个线性规划模型的决策变量为2维,用图解法既简单又直观。将约束条件(2)-(5)中不等号改为等号z=72x1+64x2(1)x1+x2=50(2)12x1+8x2=480(3)3x1=100(4)x1=0,x2=0(5)可知它们是Ox1x2平面上的5条直线,一次记为L1-L5,其中L4,L5分别是x2轴和x1轴,并且不难判断,(2)-(5)界定的可行域为oABCD.容易算出,5个顶点的坐标为O(0,0),A(0,50),B(20,30),C(100/3,10),D((100/3,0)。目标函数(1)中的Z取不同值时,它表示一组平行线,可以看出,当着组平行线向右上方移动到过B点时,Z=3360,达到最大值,所以B点的坐标(20,30)即为最优解:x1=20,x2=30软件实现我们用Lindo软件就可以实现。结果显示x1=20,x2=30,最优解:z=3360,即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2,可以获得最大利润3360元。结果分析(1)3个约束条件的右边不妨看作是3种资源:原料,劳动时间,甲类设备的加工能力。由结果知道原料与劳动时间的剩余为0,甲类设备尚剩余40公斤加工能力。一般称资源剩余为0的约束为紧约束(有效约束)。(2)目标函数可以看作“效益”,成为紧约束的资源一旦增加,“效益”必然跟着增长。输出给出了3种“资源”在最优解下的“资源”增加一个单位时“效益”的增量。原料增加一个单位时利润增长48元,劳动时间增加一个单位,利润增2元,而增加非紧约束甲类设备的能力显然不会使利润增长。这里,“效益”的增量可以看作是“资源”的潜在价值,经济学上成为影子价格,即1桶牛奶的影子价格为48元,1小时劳动的影子价格为2元,甲类设备的影子价格为零。将输入中的原材料约束2)右端的50改为51,我们得到最优值利润是48元。利用影子价格的概念,我们得到附加问题1)的结果:用35元一桶的价格买进牛奶,低于一桶牛奶的影子价格,当然应作这项投资。问题附加2):聘用临时工人以增加劳动时间,付给工人的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润,所以工人的工资最多为每小时2元。(3)目标函数的系数发生变化时,最有解和最优值会发生变化吗?从图看,目标函数的系数决定了等值线族的斜率,原题中该斜率为9/8,介于直线L1的斜率1与直线L2的斜率3/2之间,最优解自然在L1与L2的交点处B取得。并且,只要目标函数的系数变化使得等值线族的斜率仍在(1,3/2)之间变化,这个最优解就不会变化。而当目标函数的系数变化使得等值线族的斜率小于1时,最优解在A点取得,大于3/2时,最优解在C点取得。在软件分析中,给出了最优解不变时目标函数的系数允许变化范围:x1的系数为(72-8,72+24),即(64,96);x2的系数为(64-16,64+8),即(48,72)。(注:x1的系数允许变化范围需要x2的系数为64不变为基础,反之亦然。)因此我们可以回答附加问题3):若每公斤A1的获利增加到30元,则x1的系数为30*3=90,在允许的范围内,所以不应改变生产计划。(4)对“资源”的影子价格最近一步分析

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