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第2节排列与组合考纲展示1.理解排列组合的概念.2.理解排列数公式、组合数公式.3.能利用公式解决一些简单的实际问题.知识梳理自测考点专项突破易错易混辨析知识梳理自测把散落的知识连起来【教材导读】1.排列问题和组合问题的区别是什么?提示:元素之间与顺序有关的为排列、与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数之间有何关系?提示:Amn=Cmn·Amm,m,n∈N*且m≤n.知识梳理1.排列(1)排列的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.顺序Amn个数(3)排列数公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(n,m∈N*,m≤n),规定0!=1,当m=n时Ann=.n!2.组合(1)组合的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.合成!!nnm(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.Cmn个数(3)组合数公式:Cmn=11!nnnmm=,Cmn=AAmnmm,m,n∈N*且m≤n.规定0Cn=1,在这个规定下,组合数公式中的m可以取0.(4)组合数的性质:Cmn=;1Cmn=.1CCmmnn!!!nmnmCnmn双基自测1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()(A)10种(B)9种(C)12种(D)8种C解析:依题意,满足题意的不同安排方案共有12C·24C=12(种).B2.2名男生4名女生排成一排,则男生不相邻的排法种数为()(A)600(B)480(C)360(D)240解析:4245AA=480.3.(2017·北京东城区二模)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有种.(用数字作答)解析:可分为以下两类:①选一门B类课程,有34C12C=8;②选两门B类课程:24C22C=6,所以至少选一门B类课程不同的选法共有8+6=14种.答案:144.(2017·浙江嘉兴一中适考)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.解析:除甲、乙、丙三人的座位外,还有7个座位,共可形成六个空,三人从6个空中选三位置坐上去有36C种坐法,又甲坐在中间,所以乙、丙有22A种方法,所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C·22A=40种.答案:40考点专项突破在讲练中理解知识考点一排列问题【例1】(1)导学号18702561我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼15飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法种数为()(A)12(B)18(C)24(D)48解析:(1)把甲、乙看作1个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有22A22A=4种方法;再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中,有23A=6种方法,由分步乘法计数原理可得总的方法种数为22A22A23A=24.故选C.(2)(2016·河南南阳模拟)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数是()(A)36(B)48(C)60(D)72解析:(2)若个位数是0,则四位数的个数是34A;如果个位数字为2,4之一,则组成的四位数的个数是12A13A23A.根据分类加法计数原理得总的四位数的个数是34A+12A13A23A=24+36=60.故选C.反思归纳(1)解排列问题的两个基本方法:直接法和间接法.(2)基本技巧:相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法.触新的教材相信不管是对于同学自己而言还是对于家长朋友们而言，可能都还需要一定的时间去适应，但学习是一刻也不能松懈的事情，新学期除了适应教材的变化以外，一些试题的变化也必须适应，因此就必须在课下进行一些练习。但是问题就来了，很多家长朋友都表示孩子现在换了教材，但是自己找到的课外练习题却还是原来的教材版本的，不适应孩子的教材，不知道该怎么办才好了，眼看孩子马上就要结束第一单元的学习了，可是一直没找大适合的资料，没办法进行课后的巩固练习了。zgl跟踪训练1:6个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为()(A)12(B)18(C)24(D)36解析:甲、乙的站法为22A,其余人的站法为22A33A,所以不同站法种数为22A22A33A=24.故选C.考点二组合问题【例2】(1)导学号38486204(2017·辽宁省实验中学模拟)篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则休斯敦火箭队的主教练一共有种出场阵容的选择.()(A)16(B)28(C)84(D)96解析:(1)有两种出场方案:①中锋1人,后卫1人,有12C12C34C=16种出场阵容,②中锋1人,后卫2人,有12C22C24C=12种出场阵容,所以共有16+12=28种.故选B.答案:(1)B(2)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有种.解析:(2)分两类①甲组中选出一名女生有15C·13C26C=225种选法;②乙组中选出一名女生有25C·16C·12C=120种选法,故共有345种选法.答案:(2)345(3)(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)解析:(3)法一只有1名女生时,先选1名女生,有12C种方法;再选3名男生,有36C种方法;然后排队长、副队长位置,有24A种方法.由分步乘法计数原理,知共有12C36C24A=480(种)选法.有2名女生时,再选2名男生,有26C种方法;然后排队长、副队长位置,有24A种方法.由分步乘法计数原理,知共有26C24A=180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180=660(种)不同的选法.法二不考虑限制条件,共有28A26C种不同的选法,而没有女生的选法有26A24C种,故至少有1名女生的选法有28A26C-26A24C=840-180=660(种).答案:(3)660反思归纳如果元素之间与顺序无关则是组合问题,解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题.在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素,进行必要的分类和分步,如果正面解答困难,可考虑使用间接法求解.跟踪训练2:(1)(2016·辽宁大连质检)某校开设A类选修课2门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有()(A)3种(B)6种(C)9种(D)18种(2)(2016·北京通州模拟)现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()(A)420(B)560(C)840(D)2160解析:(1)由题意知有2门A类选修课,3门B类选修课,从中选出3门的选法有35C=10(种).两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课,这种情况只有1种.满足题意的选法有10-1=9(种).故选C.(2)抽取后插空.取法为28C,故总的方法数为28C×5×6=840.故选C.考点三排列与组合的综合问题★★★★【例3】(1)导学号38486205(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种解析:(1)先将4项工作分为3组,再排列,共有24C33A=36种不同的方法.故选D.答案:(1)D(2)(2017·广东深圳4月调研)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的种数是()(A)18(B)24(C)36(D)42解析:(2)由题设可分两类:一是甲地只含有一名女生,先考虑甲地有12C13C种情形,后考虑乙、丙两地,有23A种情形,共有12C13C23A=36种情形;二是甲地只含有两名女生,则甲地有22C种情形,乙、丙两地,有23A种情形,共有22C23A=6种情形;由分类计数原理可得36+6=42种情形.故选D.答案:(2)D(3)(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)解析:(3)①当组成四位数的数字中有一个偶数时,四位数的个数为35C·14C·44A=960.答案:(3)1080②当组成四位数的数字中不含偶数时,四位数的个数为45A=120.故符合题意的四位数一共有960+120=1080(个).反思归纳(1)在排列问题中:①当可供使用的元素的个数多于使用的元素个数时,需要先选后排;②当某些元素的选用受到限制时需要优先把受到限制的元素分情况处理.(2)在分组、分配问题中,要先分组后分配,同时注意区分均匀分组、不均匀分组、部分均匀分组等情况.跟踪训练3:(1)(2017·江西重点中学盟校第二次联考)将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有()(A)18种(B)20种(C)21种(D)22种解析:(1)当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有22A·33A=12种,当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有12C·22A·22A=8种,所以共有20种不同的排法.故选B.(2)(2017·陕西渭南二模)在某商业促销的最后一场活动中,甲、乙、丙、丁、戊、己6名成员随机抽取4个礼品,每人最多抽一个礼品,且礼品全被抽光,4个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑,两辆完全相同的山地车,则甲、乙两人都抽到礼品的情况有()(A)36种(B)24种(C)18种(D)9种解析:(2)若甲乙抽取了一个笔记本电脑和一辆山地车,剩下2个礼品,被剩下的4人中的2个人抽取,有22A24A=24种,若甲乙抽取的都是笔记本电脑或两辆山地车,剩下2个礼品,被剩下的4人中的2个人抽取,有22A24C=12种,根据分类计数原理可得,共有24+12=36种,故选A.备选例题【例题】某课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依据下列条件各有多少种选法?(1)只有2名女生;(2)两队长当选;解:(1)由题意,需选2名女生,3名男生,不同的选法有25C·38C=10×56=560(种).(2)两队长当选,则只需从其他11人中选出3人即可,故不同的选法有311C=165(种).(3)至少有一名队长当选;解析:(3)法一(直接法)至少有一名队长当选,可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类.①恰有一名队长当选,先从2名队长中选1人,然后从11名队员中选4人,不同的选法有12C411C=2×330=660(种).②两名队长都当选,则只需从其他11人中选出3人,不同的选法有311C=165(种).由分类加法计数原理可知,不同的选法共有660+165=825(种).法二(间接法)从13人