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1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：③通径：过焦点垂直于轴的弦长为。④顶点平分焦点到准线的垂线段：。⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。⑥焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：①焦点坐标是：，②准线方程是：。③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，④焦点弦长公式：过焦点弦长⑤抛物线上的动点可设为P或或P5一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离k0时开口向左x2=kyk0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k0时开口向下抛物线的定义：例1：点M与点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义．答案：y2=－16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F(1，0)，则l的方程为y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为，，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:(1)已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，3)求它的标准方程；(3)已知抛物线方程为y=－mx2(m0)求它的焦点坐标和准线方程；(4)求经过P(－4，－2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：，则．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解．答案：(1)，．(2)x2=12y(3)，；(4)y2=－x或x2=－8y．例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵过点（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p·2∴p=或p=∴所求的抛物线方程为y2=－x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，=4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，－2）时，=2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．证：由OA⊥OB，得，即y1y2=－x1x2，又，，所以：，即．而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)(2)直线AB的斜率k===,∴直线AB的方程为y─y1=(x─),即y(y1+y2)─y1y2=2px,由(1)可得y=(x─2p),直线AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y),由(2)知y=(x─2p)(i),又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即·=─1(ii)由(i),(ii)得x2─2px+y2=0(x0)解法2:由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)立即可求出例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,∴k2=1/2,此时x=(x1+x2)==∴y=±即M(,),N(,─)例3设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析:设,由得①又代入①式得②由得代入②式得:由得或,又由①式知关于是减函数且,且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):(且)例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6,0)①求抛物线方程;②求面积的最大值解:①设,AB中点由得又得所以依题意,抛物线方程为②由及,令得又由和得:例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,又设点A，B，M在准线:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─)由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1─x2|=×==3,∴k2=1/2,此时x=(x1+x2)==∴y=±即M(,),N(,─)综合类(几何)例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证．设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即．又直线OP的方程为，，得．因为在抛物线上，所以．从而．这一证法运算较小．思路三：直线MQ的方程为的充要条件是．将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立．例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为．将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为．代入抛物线方程得由得，这时．它到AB的距离为∴△RAB的最大面积为．例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k．（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间．分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为．由，知焦点，∴直线的斜率∴函数．（2）∵与抛物线有两上交点，∴且解得或∴函数的定义域为当时，为增函数．例4如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．设C、D的坐标分别为与．则∴l的方程为∵直线l平分弦CD∴CD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线．证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线∵焦点F在直线l上，∴由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等．∵，∴CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设则：，，即，①把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：显然代入化简整理得：，②由①、②得：，化简得用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：①设，OA⊥OB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得②由①＋②得：例6如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，∴由两点间的距离公式，得方程组：解得或∵△AMN为锐角三角形，∴，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点．（1）求．（2）求△ABQ面积的最大值．分析：由于P、Q均为弦AB