北师大版八上第1章-§1.2《能得到直角三角形吗》“同步课堂”

本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！八年级上同步教学资料第一章勾股定理1.2能得到直角三角形吗？一．教学目标与要求：1．经历探索勾股定理的逆定理的过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。2．掌握勾股定理及其逆定理，能运用它们解决一些实际问题。二.重点与难点（一）重点1.掌握勾股定理的逆定理。2.把勾股定理和勾股定理的逆定理学好并能解决一些简单的问题。（二）难点1.掌握好勾股定理的逆定理。3.能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。4.能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。三．典型例题例1如图，已知：△ABC中，CH是AB边上的高，且CH2=AH·BH试判断△ABC的形状。分析：这里有直角三角形、有CH2、可先用勾股定理以了解三边平方的关系解：∵Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2∴两式相加得，AC2+BC2=AH2+BH2+2CH2=AH2+BH2+2·AH·BH=（AH+BH）2=AB2∴△ABC为直角三角形说明：本题最后一步是利用的勾股逆定理。例2如图，已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD.BD，求证：△ABC是直角三角形。证明：∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=∠ADC=90°（垂直定义）由勾股定理：在RT△ACD中，AC2=AD2+DC2，在RT△BCD中，BC2=BD2+DC2又∵CD2=AD.BD（已知）ABCH本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD.BD+BD2=(AD+BD)2=AB2∴△ABC是直角三角形（直角三角形的判别条件）点析：勾股定理的逆定理，是另一种判别“直角三角形”的方法，它仅仅依据三边的长度之间的数量关系，而不必计算角度的大小。例3已知：在△ABC中，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n是正整数，且mn。试判断△ABC的形状。分析：首先要确定最大边，然后再用直角三角形判别条件解：由题意可知，cb，ca∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。说明：事实上，上例提供了一种寻找勾股数组（有无数组）的方法。另外还有2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1；2n、n2-1、n2+1，也都是勾股数组，你会证明吗？例4若△ABC的三边满足条件：cbacba262410338222，试判断△ABC的形状。解：原式变形得，0262410338222cbacba∴0)13()12()5(222cba∴5a，12b，13c∵222169cba∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角。说明：当方程有多个未知数时，一般先进行恒等变形，挖掘隐含条件例5如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，G为DC上一点，且DG=14DC，请问：BE与EG垂直吗？为什么？分析：连结BG，运用勾股逆定理证△BEG为直角三角形解：连结BG，设DG=x(以便数形结合，用代数方法判别)则DC=4a，ED=2a，AE=2a，AB=4a。∵Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=20a2，Rt△EDG中，EG2=5a2，Rt△BCG中，BG2=BC2+CG2=25a2∴△BEG中，BG2=BE2+EG2∴△BEG为直角三角形，BE⊥EG说明：这种用设未知数的代数方式证明几何问题的方法在数学中经常用到。四、巩固练习1、判断ABCDEG本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！（1）在△ABC中，若a2=b2-c2，则△ABC为直角三角形。（）2、选择（1）从长度分别为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒中，选出三根首尾连接，能组成直角三角形的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4（2）△ABC的三边a、b、c满足：0322223bbcacabbaa，则△ABC的形状为（）（A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形2、填空（1）请完成以下未完成的勾股数：9、40、，8、、17。（2）一个三角形的三边为0.9，1.5，1.2，这个三角形的面积为。4、解答：（1）如图，已知：AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD。问：BC⊥BD吗？为什么？(2)如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？五、中考题选讲1、（本小题满分14分）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。(1)、观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都ABDC本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！是奇数，且从3起就没有间断过。计算)19(21、)19(21与)125(21、)125(21，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股．和弦．的算式；(4分)(2)、根据(1)的规律，用n(n为奇数且．．．n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；(12分)(3)、继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用m(m为偶数且．．．m＞4)的代数式来表示他们的股．和弦．。(14分)考生注意：除第(2)小题中已发现的相等关系之外，你还有其他新的发现，并能正确证明，将酌情另加1～3分。(2004年福建省三明市初中毕业、升学考试)解：1、(14分)本小题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明。解：(1)、∵4)19(21，5)19(21；12)125(21，13)125(21；∴7，24，25的股的算式为1721)149(212弦的算式为1721)149(212…………………….4分(2)、当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，1212n，1212n。……………………………………….7分例如关系式①：弦－股=1；关系式②：222弦股勾……………9分证明关系式①：弦－股=111211211212222nnnn或证明关系式②：2222422222141412141121弦股勾nnnnn∴猜想得证。………………………………………………………………12分(3)、例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：122m，122m………………………………………….…14分另加分问题，例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股。即上一组为：n，1212n，1212n(n为奇数且n≥3)，分别记为：A1、B1、C1，下一组为：2n，12212n，12212n(n为奇数且n≥3)，分别记为：A2、B2、C2，本站部分信息资源来源于网络，仅供学习|研究|探讨|收藏之用，版权归原作者所有，如有侵权，来信删除！则：A1+B1+A2=n+1212n+(2n)=34212nn=12212n=B2。或B1+C2=B2+C1(证略)等等。评阅注意：①本题(2)、(3)和另加分的解答，仅仅是提供一种参考案例。②考生只要有一个新的再发现(2分)，并能正确证明(1分)，均属另加分范围。注：由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识。五、参考答案1对2（2）B（3）A3（1）41，15(2)0.544略