高中数学抛物线最值问题

知识改变命运，名师成就人生抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。例题已知抛物线方程为xy42,直线l的方程为04yx,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．知识改变命运，名师成就人生抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.1,41B．1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，知识改变命运，名师成就人生抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。例题抛物线xy22上任一点到直线x-y+1=0的距离的最小值是多少分析：由题意可设P为抛物线上任意一点，则P到直线x-y+1=0的距离d===，由二次函数的性质可求距离d的最小值解：方法一由题意可设P为抛物线上任意一点，则P到直线x-y+1=0的距离d===由二次函数的性质可知，当y=1即P（）时，d=故答案为：方法二求导xy2，11y可知当y=1即P（）时，d最小，故答案为：