大学物理-电通量-高斯定理

大学物理上册§7.3电通量高斯定理大学物理7-3-1电场线及其性质标量场：在空间各点存在着一个标量，它的数值是空间位置的函数，如温度场、气压场矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空间位置的函数，如流速场、电场、磁场场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密反映矢量的大小。§7.3电通量高斯定理大学物理a)切线方向表示电场方向;b)疏密表示场强大小。1.规定：电力线密度大小：切线；方向：SNEE电场线EdSE大小方向大学物理2.性质:(1)起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)，在无电荷处不间断也不相交，称为有源场。(2)电场线不闭合，称为无旋场。故静电场a)电场线为假想的线,电场中并不存在；b)电荷在电场中的轨迹不是电场线。说明:电场中假想的曲线是有源无旋场。大学物理点电荷的电力线正电荷负电荷+几种常见电场的电场线大学物理+一对等量异号电荷的电场线大学物理一对等量正点电荷的电场线++大学物理一对异号不等量点电荷的电力线2qq+大学物理带电平行板电容器的电场+++++++++大学物理7-3-2电通量通过电场中某一面的电力线数称为通过该面的电通量。用e表示。SE（1）均匀电场（a）S与电场强度方向垂直SnE（b）S法线方向与电场强度方向成角ESecosESe大学物理SSn1、均匀电场nEESe2、均匀电场nE=cosESeSESE3、非均匀电场、任意曲面ndSSdEdeSeSdE单位：VmnEE大学物理dsESdESecos＝cos。法向之间的夹角的余弦与面元是其中：sdE曲面法线方向的选取。，其正负决定于是标量，且有正负之分e大学物理4)闭合曲面的法向：规定外法线（指向曲面外部空间的法线）为正向。SSeSdEdSEcos大学物理注意：1．电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无意义。2．电通量是代数量，可正、可负、可以为零。3．电通量的叠加原理：多个点电荷对某一曲面的电通量等于它们单独存在时通量的代数和。大学物理真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围的电荷电量的代数和除以真空介电常数。与闭合面外的电荷无关。7-3-3静电场的高斯定理1.定理0diSeqSES：闭合曲面，称为高斯面大学物理1）.点电荷q位于球面S的球心SqSrSSSedSrqdScosESdE20400204qdSrqSSsedSrqdscosEsdE200400qeSSe2）.点电荷q位于任意闭合曲面S´内Srqs2.静电场高斯定理的验证与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。大学物理3）场源电荷为点电荷，但在闭合曲面外。+q因为有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来。0sSdE0se大学物理4.闭合曲面内包围多个点电荷SeSdESnSd)E......EEE(21SnSSSSdESdESdESdE21002010nqqqiq01S1qnq2qq对连续带电体，高斯定理为dqSdE01大学物理结论：静电场是有源场，正电荷所在处就是静电场的源头0SeSdE通量不为0的矢量场称为有源场大学物理表明电场线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以正电荷是静电场的源头。表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。00eiq.c00eiq大学物理高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电场，是电磁场理论的基本方程之一。对于均匀、对称的电场，可用之求电场强度。高斯定理为求电场强度提供了一条途径.大学物理一、求场强的思路高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。几类对称性：电场分布轴对称电场分布球对称电场分布面对称4.高斯定理的应用大学物理二、高斯定理的解题步骤：定性分析带电体系激发的电场分布情况选取合适的高斯面：场点必须在高斯面上。高斯面上各个部份场强要么大小相等，要么与面上场强平行或垂直。根据对称性，选择适当的坐标系，应用高斯定理求解对某些对称分布带电体的简单组合，可以对各带电体分别使用高斯定理，再用场强的叠加原理求解合场强大学物理例题1求电量为Q、半径为R的均匀带电球面的场强分布。三、高斯定理的应用举例1、电荷分布球对称如：均匀带电球面或者球体ａ：对称性分析：RPO由于电荷分布球对称，所以电场分布也球对称，可以设想，凡是距离O点为ｒ的各点场强的大小都相等。球对称分布：在任何与均匀带电球壳同心的球面上各点的场强大小都相等，方向沿着半径方向呈辐射状。大学物理解:对称性分析E具有球对称作高斯面——球面Rr电通量电量0iq用高斯定理求解0421rE01ER++++++++++++++++qEr211141rEdSESdEse1）大学物理R+++++++++++++++rqRrqqi0224qrE2024rqEE222242rESdESdEseE204Rq21rrROO2）相当于电荷集中在球心的点电荷大学物理两个同心带电球壳，半径为R1和R２，电量分别为Q1和Q2,填空：R1，Q1R２，Q2,,RR,2211ErRErERr扩展：大学物理距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的球壳所带电量决定其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量无关分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间讨论结论大学物理Rq解：rR333434rRqqi330214RqrrE场强304RqrE例2.均匀带电球体的电场。已知q,RrE高斯面24rESdEe选择高斯面——过待求场点的同心球面334Rq大学物理Rr高斯面ErR电量qqi高斯定理024qrE场强204rqE24rESdEe电通量大学物理均匀带电球体电场强度分布曲线εROEOrER204Rq大学物理RrrqRrE2040均匀带电球面：典型结论均匀带电球体：　RrrqRrRqrE203044大学物理讨论虽然高斯积分为曲面积分，但是由于电场分布的特点我们并没有真正计算这个高斯积分，而是通过数学分析直接得到结果。高斯面若选取不当，我们就不能处理高斯积分，即不可能计算出场强，但是高斯定理仍然成立。均匀带电球面的面外、球体的球外一点的场强相当于把所有电荷集中在球心的一个点电荷所产生的电场；均匀带电球面的面内任意点场强处处为零；大学物理二、轴对称分布：例7-3-4：求：电荷线密度为的无限长带电直线的场强分布。无线长的物理含义：指ｒ与带电直线的线度L相比非常小，看不到线段的边。无线长均匀带电细直线无线长圆柱体无线长柱面及其同轴组合大学物理1.分析对称性：PO1dl２dl1dE2dEdE凡是和P点一样，距离为ｒ的各点和P点相比，没有任何特殊性，故场强相同的各点在空间构成一个圆柱面。大学物理凡是与轴线距离相等的各点上场强的大小都相等，方向沿着轴的矢径成辐射状。轴对称的含义：大学物理？r2.选择高斯面——同轴柱面SdEESdSdE上下底面SdE//侧面，且同一柱面上E大小相等。SeSdElSdSd底侧SdESdE0rlE2rE020l方向：如图所示。大学物理无限长均匀带电直线的场强r20E当E,0方向垂直带电导体向外当E,0方向垂直带电导体向里大学物理如果线粗细不可忽略，空间场强分布如何？思考大学物理0iq0E解：场具有轴对称高斯面：同轴圆柱面例均匀带电无限长圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为seSdESdESdESdE上底侧面下底(1)rRrlErlE2200高斯面lrE大学物理(2)rRRlqi20rRErE02高斯面lrEseSdESdESdESdE上底侧面下底rlE2若题目告诉的是面密度：大学物理课堂练习：求均匀带电无限长圆柱体的场强分布，已知R，202RrERrRrr0202lrlERrRrlrRrlE2202大学物理结论：无限长均匀带电圆柱面面外、无限长均匀带电圆柱体体外一点的电场强度相当于把所有电荷集中在轴线上的一个无限长带电直线所产生的电场大学物理例如：均匀带电无限大平面或平板、若干个无限大均匀带电平行平面3、平面对称分布++++++++++大学物理E求：电荷面密度为的无限大均匀带电平面的场强分布。解：a.对称性分析：回顾带电圆盘例题的结论或者面由线组成分析。SdE侧面SdE底面SeSdE0SSE202E++++++++++SdSd且大小相等；Eb.选择高斯面——与平面正交对称的柱面大学物理当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。扩展大学物理例题求：电荷面密度分别为1、2两个平行放置的无限大均匀带电平面的场强分布。ABC0112E0222ExiEA0212iEB0212iEC02121E1E1E2E2E2E++++++++++++2++++++++++++1解：大学物理0BE当1=-20CAEE此即带电平板电容器间的场强结论此即以后的平行板电容器模型。一对等量异号电荷的无限大平面，他们的电场只集中在两个平板之间，在平板外侧无电场。大学物理判断正误如果高斯面内无电荷，则高斯面上场强处处为０如果高斯面上场强处处不为０，则高斯面内必有电荷如果高斯面内有电荷，则高斯面上场强处处不为０大学物理位于中心q过每一面的通量课堂讨论●q1．立方体边长a，求位于一顶点●q06qe0240qe大学物理[例]如图所示，一厚度b无穷大带电平板，体电荷密度为=kx（0≤x≤b）。求：（1）空间的电场分布；（2）板内何处电场为零。xxObP1PP2dxdx’解:利用无穷大带电平板问题叠加，取厚度为dx的薄平面,则面电荷密度为kxdxdxd对点的P电场强0022kxdxddE大学物理xxObP1PP2dxdx’)(42422200220001xbkdxkxExkdxkxEbxx1)板内任意点：)2(422021bxkEEEp2,0bxEPP2)板外：02024,4,021kbEbxkbExPP向右向左大学物理[例]如图所示，体电荷密度为，半径为R1的均匀带电球体，内部挖去一个半径为R2的球体空腔，求腔内的电场强度。解：用补偿法，即腔内无电荷就可看成带有等量的异号电荷。由高斯定理0334rSdES球体对P点的贡献1013rER2R1OOar1r2R2P大学物理腔对P点的贡献2023rE所以OOrrEEEP0210213)(3OOEEPO03203220323)4(34aRaREOO