高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

1习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(baC和半径r，即得圆的标准方程222)()(rbyax；已知圆的标准方程222)()(rbyax，即得圆心),(baC和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为()(A)3)1()2(22yx(B)3)1()2(22yx(C)9)1()2(22yx(D)9)1()2(22yx解已知圆心为)1,2(，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546dr3，∴所求的圆方程为9)1()2(22yx，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(rbyax即得圆的方程.二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线1yx与圆0222ayyx)0(a没有公共点，则a的取值范围是()(A))12,0((B))12,12((C))12,12((D))12,0(解化为标准方程222)(aayx，即得圆心),0(aC和半径ar.∵直线1yx与已知圆没有公共点，∴线心距arad21，平方去分母得22212aaa，解得1212a，注意到0a，∴120a，故选(A).点评：一般通过比较线心距d与圆半径r的大小来处理直线与圆的位置关系：rd线圆相离；rd线圆相切；rd线圆相交.三、切线问题例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线方程为()(A)xy3或xy31(B)xy3或xy31(C)xy3或xy31(D)xy3或xy31解化为标准方程25)1()2(22yx,即得圆心)1,2(C和半径25r.设过坐标原点的切线方程为kxy，即0ykx，∴线心距251122rkkd，平方去分母得0)3)(13(kk，解得3k或31，∴所求的切线方程为xy3或xy31，故选(A).点评：一般通过线心距d与圆半径r相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4(06天津卷理)设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于BA、两点，且弦AB的长为32，则a.解由已知圆4)2()1(22yx，即得圆心)2,1(C和半径2r.∵线心距112aad，且222)2(rABd，∴22222)3()11(aa，即1)1(22aa，解得0a.点评：一般在线心距d、弦长AB的一半和圆半径r所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(rABd.五、夹角问题例5(06全国卷一文)从圆012222yyxx外一点)2,3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()2(A)21(B)53(C)23(D)0解已知圆化为1)1()1(22yx，即得圆心)1,1(C和半径1r.设由)2,3(P向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，522cos，∴5312cos2cos2，故选(B).点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径r和PC所构成的直角三角形中求得2的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.六、圆心角问题例6(06全国卷二)过点)2,1(的直线l将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k.解由已知圆4)2(22yx，即得圆心)0,2(C和半径2r.设)2,1(P，则2PCk；∵PC直线l时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l的斜率221PCkk.点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7(06湖南卷文)圆0104422yxyx上的点到直线14yx0的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)26(D)25解已知圆化为18)2()2(22yx，即得圆心)2,2(C和半径23r.设线心距为d，则圆上的点到直线014yx的最大距离为rd，最小距离为rd，∴262)()(rrdrd，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d与圆半径r的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为rd，最小距离为rd.八、综合问题例8(06湖南卷理)若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是()(A)]4,12[(B)]125,12[(C)]3,6[(D)]2,0[解已知圆化为18)2()2(22yx，即得圆心)2,2(C和半径23r.∵圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，∴2222222rbabad，即0422baba，由直线l的斜率bak代入得0142kk，解得3232k，又3212tan，32125tan，∴直线l的倾斜角的取值范围是]125,12[，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为(2,2ED)，半径为r＝2422FED2.直线与圆的位置关系的判定方法.(1)法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.3消元0022FEyDxyxCByAx一元二次方程相离相切相交判别式000(2)法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝相离相切相交rdrdrdBACBbAa22.3.两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O1O2｜＞r1＋r2两圆外离；｜O1O2｜＝r1＋r2两圆外切；｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2两圆相交；｜O1O2｜＝｜r1－r2｜两圆内切；０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜两圆内含.●点击双基1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1t71B.－1t21C.－71t1D.1t2解析：由D2+E2－4F0，得7t2－6t－10，即－71t1.答案：C2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A.｜a｜＜1B.a＜131C.｜a｜＜51D.｜a｜＜131解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜131.答案：D3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当br时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|r时，才有圆与x轴相交，而br不能保证|b|r，故D是错误的.故选D.答案：D●典例剖析【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27，则有（2|3|bb）2+（7）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.夯实基础1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=0解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d=5|10|=2.再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.4∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1.（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b.将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0.Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）0，得2－32b2+32.由韦达定理得x1+x2=－（4－b），x1·x2=2162bb.y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2=2162bb+4b.∵OP·OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0.解得b=1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y=－x+1.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.xyOPC(2,0)设xy=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2kk=3，解得k2=3.所以kmax=3，kmin=－3.（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b=3，即b=－2±6，故（y－x）min=－2－6.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+3，（x2+y2）min=｜OB｜=2－3.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=3124=－1，AB的中点为（2，3），故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，即x－y+1=0.又圆心在直线y=0上，因此圆