直线方程与圆的方程

一、直线的方程：概念：倾斜角（１）倾斜角的范围：001800，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．（２）特殊位置：当0时，直线l与x轴平行；当90时，直线l与x轴垂直．２．直线的斜率．（１）斜率的概念当倾斜角不是90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：tank．说明：当90时，直线l没有斜率（但是有倾斜角）；当90时，直线l有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于90的直线对于x轴的倾斜程度的量．（２）斜率公式：1212xxyyk，其中),(,),(2211yxyx是直线l上两点的坐标．例1：已知两点(1,5),(3,2)AB，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率．３．直线方程的五种形式：（１）点斜式：11xxkyy；（２）斜截式：bkxy；（３）两点式：121121xxxxyyyy；（４）截距式：1byax；（５）一般式：0(,AxByCAB不同时为0)．例２．过点(2,1)P作直线l分别交,xy轴正半轴于,AB两点，当AOB的面积最小时，求直线l的方程．练习：例2把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图．４．两条直线的位置关系：（１）平行（不重合）的条件：212121,//bbkkll且；21//ll212121CCBBAA．（２）两条直线垂直的条件：12121kkll；21ll02121BBAA．（３）直线1l到直线2l的角公式为：21121kkkktg．（４）直线1l与直线2l夹角的公式：21121tankkkk．)900(（5）点到直线的距离公式：2200BACByAxd．（7）过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）注：1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(||yyxxPP.特例：点P(x,y)到原点O的距离：22||OPxy2.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212PPPPPP所成的比为即,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:tank4.过两点1212222111),(),,(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：.12()xx当2121,yyxx（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率新疆学案王新敞⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd.注；直线系方程1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(m∊R,C≠m).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ∊R）注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(2a–x,2b–y)=0.例1：直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，求a的值。例2：两条直线2-2y-2=0与x+y-4=0夹角的正弦值为例3.点（0，5）到直线y=2x的距离为例4已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?例5过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为例6.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是二、简单的线性规划：１．二元一次不等式表示平面区域：２．线性规划的有关概念：①线性约束条件；②线性目标函数；③线性规划问题；④可行解、可行域和最优解；例1：已知目标函数z=x+2y，在可行域0625022yxxyyx＋内，求z的最小值，并求出此时的x,y的值。1、若直线1x的倾斜角为，则（）A．0B.45C.90D.不存在2、经过两点)3,2(),12,4(ByA的直线的倾斜角为135，则y的值等于（）A1B3C0D23、过点（1，4）作直线l使点M（1，2）到直线l距离最大，则直线l的方程为（）A03yxB05yxC01yxD05yx4、如果0ac且0bc，那么直线0cbyax不通过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（）A1条B2条C3条D4条6、已知直线012)4()4(2mymxmm的倾斜角为135，则m的值是（）A2或4B4或2C4或0D0或27、直线l与直线0632yx关于点)1,1(对称，则直线l的方程是（）A0223yxB0732yxC01223yxD0832yx8、直线021)1(ayxa与015)1()1(2yaxa平行，则实数a的值为（）A.1B.-1或1C.－1D.09、过点（1，1），倾斜角是直线xy3的倾斜角的2倍的直线方程是。10、无论a取何实数，直线（1＋2a）x＋（3a－2）y＋9a＋1＝0（aR）必经过定点，这个定点的坐标是______________。11、已知点N（3，1），点A、B分别在直线xy和0y上，则ABC的周长的最小值是。12、设三条直线01832,06232ymxyx和01232ymx围成直角三角行，则m的值是。13.求直线033yx关于直线02yx对称的直线的方程。14.已知直线l过两条直线0832,0543yxyx的交点，且与A（2，3），B（－4，5）两点的距离相等，求直线l的方程。三、圆的方程：1.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程222)()(bbyax)],(),(,[bababr或圆心②与y轴相切的圆方程222)()(abyax)],(),(,[babaar或圆心③与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax)],(,[aaar圆心3.圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.②方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax5.直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.①rd时，l与C相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.②rd时，l与C相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.③rd时，l与C相离.附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与C相切；l0与C相交；l0与C相离.注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx.①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxCABCD(a,b)②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知O的方程022FEyDxyx…①又以ABCD为圆为方程为2))(())((kbxyyaxxxAA…②4)()(222byaxRAA…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.例1：若直线ax+by-3=0与圆01422xyx切于点P(-1,2)，则ab积的值为例2：两圆求16)3()1(,9)1()1(2222yxyx的公共弦所在的直线方程例3：实数x,y满足,04514422yxyx求：yxyx64221、三角形ABC中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则kAB，kBC顺次为（）A－71，2B2，－1C0，2D0，－712、斜率为－21，在y轴上的截距为5的直线方程是（）Ax－2y=10Bx+2y=10Cx－2y+10=0Dx+2y+10=03、经过(1，2)点，倾斜角为135˚的直线方程是（）Ay－2=x－1By－1=－(x－2)Cy－2=－(x－1)Dy－1=x－25、如果直线ax+2y+2=0与3x－y－2=0直线平行，那么系数a=（）A－3B－6C－23D326、点(0，10)到直线y=2x的距离是（）A25B5C3D57、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为（