考研数学——差分方程及其应用

附录：差分方程及其应用一、差分的概念定义1设函数).(tyyt称改变量ttyy1为函数ty的差分,也称为函数ty的一阶差分,记为ty,即tttyyy1或)()1()(tytyty.一阶差分的差分称为二阶差分ty2,即ttttyyyy12)(.2)()(12112tttttttyyyyyyy类似可定义三阶差分,四阶差分,……),(),(3423ttttyyyy例1设322ttyt，求ty，ty2。解32)32(]3)1(2)1[(221tttttyyyttt。tttttyyyyy1222)(232]312)1[(2]3)2(2)2[(222tttttt）（。二、差分方程的概念定义2含有未知函数ty的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：0),,,,,(2tntttyyyytF或.0),,,,,(21nttttyyyytG差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.差分方程的不同形式可以互相转化.定义3满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件,满足初始条件的解称为特解.定义4若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的,则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt其特点是tntntyyy,,,1都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1tfPyytt（1）其中,P为非零常数,)(tf为已知函数.如果,0)(tf则方程变为：01ttPyy称为一阶常系数线性齐次差分方程,相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1tfayytt，（2）其中常数0a，)(tf为t的已知函数，当)(tf不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(tf时，差分方程：01ttayy（3）称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。下面给出差分方程的迭代解法。1、求齐次差分方程的通解把方程（3）写作ttyay)(1，假设在初始时刻，即0t时，函数ty取任意常数C。分别以,2,1,0t代入上式，得210200()(),()()()()0,1,2,tttyayCayayCayayCat，，。最后一式就是齐次差分方程（3）的通解。特别地，当1a时，齐次差分方程（3）的通解为：Cyt，,2,1,0t。2、求非齐次线性差分方程的通解1、设btf)(为常数此时，非齐次差分方程（2）可写作：byaytt)(1。分别以,2,1,0t代入上式，得])()()(1[)(])()(1[)()()](1[)()()(12020323021201tttaaabyayaabyabyayabyabyaybyay。（4）若1a，则由（4）式用等比级数求和公式，得aabyayttt1)(1)(0，,2,1,0t，或abaCababyayttt1)(1)1()(0，,2,1,0t，其中abyC10为任意常数。若1a，则由（4）式，得：btCbtyyt0，,2,1,0t，其中0yC为任意常数。综上讨论，差分方程bayytt1的通解为：。，1,1,1)(abtCaabaCyt（5）上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次差分方程（2）的一个特解。这里，当1a时，由上式所确定的解序列)2,1(tyt的特性作两点说明：例2求解差分方程51321ttyy。解：由于32a，51b，531ab。由通解公式（5），差分方程的通解为53)32(ttCy，（C为任意常数）。2、)(tf为一般情况此时，非齐次差分方程可写作：)()(1tfyaytt。分别以,2,1,0t代入上式，得。，，，)1()()()1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1021020323021201ktfaaCtftfafafayayffafayafyayffayafyayfyaytkkttttt（6）其中0yC是任意常数。（6）式就是非齐次差分方程（2）的通解。其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2）的一个特解。例3求差分方程tttyy21的通解。解由于1a，ttf2)(。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解tttttkktkttkkty131231211)21(12)21(22)1()(1101110*，于是，所求通解为ttttttCCy231)1()1(31231)1(1。其中311CC为任意常数。例4求差分方程tyytt231的通解。解：特征方程为01，特征根1。齐次差分方程的通解为：CyC。由于)(23)(1tPttft，1是特征根。因此非齐次差分方程的特解为)()(10*tBBtty。将其代入已知差分方程得ttBBB232110，比较该方程的两端关于t的同次幂的系数，可解得20B，11B。故2*2)(ttty。于是，所求通解为2*2ttCyyyct，（C为任意常数）。五、差分方程在经济学中的应用——筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。设第n个月投资帐户资金为nS元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于nS的差分方程模型为：0001005.11nnSS，并且xSS0120,0。解上式得通解000200005.1005.111000005.1CCSnnn，以及,000200,0000200005.10120120xCSCS从而有45.07390005.1000200000200120x。从现在到20年内，nS满足的差分方程为：aSSnn005.11，且45.07390,02400SS。解之得通解，aCaCSnnn200005.1005.11005.1，以及,0200,45.07390200005.10240240aCSaCS从而有95.194a。即要达到投资目标，20年内要筹措资金90073.45元，平均每月要存入银行194.95元。4．差分方程的应用差分方程的应用主要表现在两个方面：一方面是它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；另一方面是它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。在计算机技术和应用已得到广泛普及的今天，越来越多的连续系统都可以利用离散系统进行仿真，从而使得系统的分析更方便、更精确了。下面我们以两个例子说明差分方程在这两方面的应用。2.9现在我们来讨论一个实际的商业银行住房贷款问题。1．设P为用户的总借款额，m为贷款期限，I为银行每月的贷款利息，若用户每月的还款额数相同，且设为D，试证明，用户每月应还贷款的公式为2．若用户的总借款额为20万元，贷款期限为10年，银行每月利息为0.00345，试问用户平均每月应还款多少？解本题的关键是要列出差分方程，也就是要将银行贷款这个离散事件抽象为数学模型的差分方程，为此，设y[n]是用户在第n个月末的欠款余额，而y[n-1]就是用户在第n-1个月末的欠款余额。这样，用户在当前月度的欠款余额y[n]将是用户在上个月度的欠款余额y[n-1]加上上个月的利息Iy[n-1]后再减掉用户本月的还款D，即(2.37)整理此式可得(2.38)这是一个一阶差分方程，方程的特征根为(1+I)，特解为一常数C2，故方程的解可写为(2.39)容易求得特解(2.40)于是(2.41)要确定y[n]中的常数C1，需要有一个初值。这个初值应是y[0]，它是用户的贷款总额P。这样，将y[0]＝P代入式(2.41)可求得(2.43)因此(2.44)又因为在第m个月后用户还完全部贷款，故有y[m]=0，这样，式(2.43)就可变为(2.45)将P＝200000，m=120，I＝0.00345代入式(2.45)，可求得用户每月应还款的数额为D＝2038.23元这样，用户在10年中共还给银行本息244587.6元，其中，本金200000元，利44587.6元。