初高中数学衔接之解方程和方程组精讲

1第一课时解方程和方程组一、方程和方程组的解法1、知识网络：2．解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式：（2）分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式；（3）公式法一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时的根为aacbbx242，该式称为一元二次方程的求根公式。二．例题讲解例1：解方程(1)0342xx(2)xx7322(3)xxx22)1)(1(,解：（1)移项得342xx配方得x2－4x＋(－2)2=7解这个方程得x－2=±，即；(2)移项得2x2－7x=－3，把方程两边都除以2得2配方得．即解这个方程得3,2121xx法二：（用分解因式法）0)3)(12(xx得方程得3,2121xx。(3)原方程可化为∴∴；∴．例2若关于x方程01222bxx有一根为3x，求b的值。例3关于x的方程：022mxx，（1）当x取何值时，方程有两个不相等的实根？（2）当x取何值时，方程的有两个正数根？（3）当x邓何值时，方程有一根小于1，另一根大于3？例题1：当m为什么值时，关于x的方程01)1(2)4(22xmxm有实根。解：当42m＝0即2m时，)1(2m≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42m≠0即2m时，方程有根的条件是：△＝208)4(4)1(222mmm≥0，解得m≥25∴当m≥25且2m时，方程有实根。综上所述：当m≥25时，方程有实根。例题2：1x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）)1(121xx3（2）2221xx（3）21xx解：（1）)1(121xx=0123251)(2121xxxx（2）2221xx＝212212)(xxxx＝417（3）21xx＝212214)(xxxx＝213例题2：已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。解：依题意有：0)5(4)2(4165)2(22221222122121mmxxxxmxxmxx由①②③解得：1m或15m，又由④可知m≥49∴15m舍去，故1m例题4：已知21,xx是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根，问21,xx能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。解：∵关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx有两个非零实数根，则有,21,0163244)1(422mmmm又21,xx是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个实数根，2212141),1(mxxmxx。假设21,xx同号，则有两种可能：①若00,0,021212xxxxxx则有即0410)1(2mm,01mm且此时m的取值范围是021mm且。②若00,0,021212xxxxxx则有即0410)1(2mm,1m而21m时方程才有实数根，∴此种情况不可能。综上所述，当021mm且时，方程的两实根同号。4例题5：已知1x、2x是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值。解：（1）由k≠0和△≥0k＜0∵121xx，kkxx4121∴2122121219)(2)2)(2(xxxxxxxx2349kk∴59k，而k＜0∴不存在。（2）21221xxxx＝4)(21221xxxx＝14k，要使14k的值为整数，而k为整数，1k只能取±1、±2、±4，又k＜0∴存在整数k的值为－2、－3、－5例1：解关于x的方程（1）323662)1(xbxxxa；（2）141212xxxx（3）71)3(63)1(2xxxx解：（1）去分母得：3(a+1)x-(x+6)=3(3x+b)+2x去括号得：3ax+3x-x-6=9x+3b+2x移项、合并同类项得：(3a-9)x=3b+6，即(a-3)x=b+2∵a≠3，∴a-3≠0，∴32abx。（2）解：原方程变形为)1)(1(4121xxxxx方程两边都乘以)1)(1(xx，整理得022xx，解这个方程得1,221xx。经检验，2x是原方程的根，1x是原方程的增根。∴原方程的根是2x。（3）设yxx31，那么yxx123，原方程变形为762yy，整理得06722yy，解这个方程得231y，22y。当23y时，即2331xx，去分母得2293xx，解得11x。当2y时，即231xx，去分母得162xx，解得7x。检验：把11x，7x分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根。5例题2：解方程组（1）35,5223.xyxy（2）0941343222zyxzyxzyx解：（1）方法一（加减消元法）：①×2得：6x－2y＝10③，②＋③得：11x＝33，x＝3把x＝3代入①得：9－y＝5，y＝4，所以34xy方法二（代入消元法）：由①得：y＝3x－5③，把③代入②得：5x＋2(3x－5)＝23，11x＝33，x＝3，把x＝3代入③得：y＝4，所以34xy（2）解：0941343222zyxzyxzyx消元得877310zyzy11211zyxzy例题3:解方程组（1）.01,05322yxyxx（2）.03,04222xyxyx解：（1）②yx①yxx0105322由②得③xy1，把③代入①得05)1(322xxx，整理得022xx解得11x，22x将11x，22x分别代入③得21y，12y∴原方程组的解为12212211yxyx（2）②xyx①yx.03,04222由①得022yxyx，∴02,02yxyx或。它们与方程②分别组成两个方程组：04022xyxyx04022xyxyx解方程组04022xyxyx可知，此方程组无解；解方程组04022xyxyx得42422221yxxx所以原方程组的解是42422221yxxx。例题4解方程组：（1）2242yxxy；（2）0320342222yyxxyx；（3）4236942222yxyx。6学生练习与作业：1、解方程：12733)1(2xxx（答案：712x）2、解方程122)2(16xxx）（（答案：3x）；3、解方程0365322xxxx（答案：2,121xx）4、解方程08)1(2)1(2xxxx（答案：341x，322x）5、解方程组（1）12202xyxyx（答案：2211yx2222yx）（2）023102222yxyxyx（答案：5511yx，5522yx，22233yx，22244yx）6、不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx答案：①无数多个解②无解③唯一的解第二课时一元二次方程根与系数的关系一、知识网络：二．例题讲解）两根（一元二次方程002acbxax例6解方程组（1）65xyyx答案：2332yxyx7（2）61322xyyx答案：23233232yxyxyxyx学生练习与作业：1.已知关于x的方程03)1(222mxmx（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x、2x是方程的两根，且012)()(21221xxxx，求m的值。（参考答案：（1）2m；（2）1m）2.关于x的方程04)1(2kxkkx有两个不相等的实数根.（1）、求k的取值范围；（2）、是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解：（1）由题意可知，044)1(,02kkkk且021kk且。（2）设方程的两根是21,xx，04121xx，011212121xxxxxx。021xx。kkxx121，211,01kk。∴满足条件的实数k不存在。说明：（1）判断一元二次方程根的情况，须根据一元二次方程根的判别式，同时要注意对二次项系数不为零的条件不能忽略，（2）与两根有关的代数式，设法转化成有关两根和、两根积的式子即可3.设abc、、是△ABC的三条边边长，关于x的方程2220xbxca有两个相等的实数根，方程322cxba的根为x=0。（1）试说明△ABC为等边三角形；（2）若ab、为方程230xmxm的两根,求m的值解：（1）∵关于x的方程2220xbxca有两个相等的实数根，∴△=4840bca，即20.bca①∵方程322cxba的一根为0，∴22ba，即ab.②由①②得abc，∴△ABC为等边三角形。（2）若ab、为方程230xmxm的两根,又知ab，所以2120mm，解得120,12mm