自动控制原理具有零点的二阶系统阶跃响应为

自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院1一、典型二阶系统的瞬态响应下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:sssGnn2)(22闭环传递函数为:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC-这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。第三节二阶系统的瞬态响应自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院2特征根为：，注意：当不同时，极点有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。)(sn特征方程为：0222nnss122,1nns自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院3⒈当时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。0⒉当时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。10⒊当时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1⒋当时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。1自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院4当输入为单位阶跃函数时，，有：ssR1)(,1)()(sssC]1)([)(1ssLtc222221)()(nnnssssssC0,cos1)(tttcn[分析]：当时，0极点为：njs此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡圆频率。nn自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院5)1(1)(tetcntn2222)(1121)(nnnnnnsssssssC阶跃响应函数为：当时，1ns2,1极点为：当时，1022,11nnjs极点为：阶跃响应为：自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院622222222222122121)(nnnnnnnnnnnnssssssssssssssC0,)]1sin(1)1[cos(1)(222tttetcnntn0,)11sin(11)(2122ttgtetcntn极点的负实部决定了指数衰减的快慢，虚部是振荡频率。称为阻尼振荡圆频率。21nddn自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院7当时，1122,1nns极点为：即特征方程为)]1()][1([22222nnnnssss)]1()][1([)()(222nnnsssRsCssssCnnn1)]1()][1([)(222)1()1(1211)(2)1(2)1(222ttnneetc)1)(1(22122TsTsssnn特征方程还可为自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院8因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为)1)(1(1)1)(1(1)()(212121sTsTTsTsTTsRsC于是闭环传函为：这里，21TT2121TTn)1(1)1(111)1)(1(1)(2212112121TsTTTTsTTTsssTsTsC212121211)(TtTteTTTeTTTtc)1(121nT)1(122nT式中自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院9上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根无阻尼,0njs2,1欠阻尼,1o22,11nnjs临界阻尼，1)(2,1重根ns过阻尼，1122,1nns自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院10可以看出：随着的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院11二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系（一）衰减振荡瞬态过程：)10(⒈上升时间：根据定义，当时，。rttrt1)(rtc0,)11sin(11)(2122ttgtetcntn1)11sin(11)(2122tgtetcrntn0)11sin(212tgtrn自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院12n21nj21njn称为阻尼角，。cosdrt2211arctgndktrd自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院13⒉峰值时间：当时，ptptt0)(ptc0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得：,...)2,1,0(,nntpd由于出现在第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt0,)sin(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院1400.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025trtpt自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院15⒊最大超调量：%%100)1)((%100)()()(%pptccctc故：%100%21emax)()(ctctcp得将峰值时间代入21npt)sin1(cos1)(2maxpdpdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院1600.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院17⒋调节时间：st可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为1C(t)0tst's2111Δ=5t211tne2111211tne根据调节时间的定义，当t≥ts时|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。%)1tgsin(1212tedtn211tne自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院18nst%)1ln(2%12snte由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。1C(t)0tst's2111Δ=5t211tne2111211tne21111sntsetc自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院19当较小时，近似取：，且1124912.3)02.0ln(3996.2)05.0ln(时当时当5Δ2Δ,3,4nnst所以自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院20一般在之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取作为设计依据，称为最佳阻尼常数。8.0~4.0707.0215延迟时间：根据定义，令。dt5.0dtc221arccos1sin2ln1dndntt5.0)11sin(11)(2122tgtetcntn自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院21曲线拟合ndt22.06.01当10ndt7.01若不变,闭环极点距s平面原点越远,越小,若不变,闭环极点距s平面虚轴越近,越小ndtdt自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院22这是一个单调上升的过程。用调整时间就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式可以得出st（二）非振荡瞬态过程：⒈对于，极点为：1ns2,1)1(1)(tetcntn5Δ2Δnnst75.484.5自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院23在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间就可以描述瞬态过程的性能。st]11[1211)(2)1(2)1(222ttnneetc⒉对于，极点为：1122,1nns当时25.1nnTT21,221212144TTTT即利用牛顿迭代公式可得5Δ2Δ113.32.4TTts当时，34.156.0215TT，这时可用一阶系统来近似5Δ2Δ113.32.4TTts自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院2411.11.21.31.41.51.61.71.81.922.12.22.32.42.52.62.72.82.93024681012141618202224Δ=2的精确曲线Δ=5的精确曲线Δ=2的近似曲线Δ=5的近似曲线snt自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院25当时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的最小。1st当时，极点远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。1122nns自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院26[总结]阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但长。当时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。1st0通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望希统的阻尼系数在0~1之间。而不希望处于过阻尼情况，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于情况。)1()1(自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院27在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。)10(注意到只与有关，所以一般根据来选择。%100%21e%越大，（当一定时）nnnst),3(4或st为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。st自动控制原理杭州师范大学信息科学与工程学院28[例]：求系统的特征参数并分析与性能指标的关系：n,)(sR