生猪出售时机的数学模型

第2章数学建模概述2.3节生猪出售时机1.问题提出农场每天投入3.2元资金用于饲料、设备和人力，估计可使一头90公斤重的生猪每天增重1公斤.现在生猪出售的市场价格为12元/公斤，但是预测每天会降低0.08元/公斤.问应该什么时候出售生猪？如果上述估计或预测的数据发生变化，对结果有多大影响呢？2.问题分析投入资金可使生猪体重随时间增加，但预测生猪出售的市场价格随时间下降，应该存在一个最佳的出售时机，使获得的利润最大.所以本题属于优化问题.2.问题分析实际上，在较短的时段内农场每天投入的成本大致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容易得到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经常发生波动.按照题意，可以先假设农场每天投入的成本、生猪每天增加的体重和生猪出售的市场价格的每天的降幅都是常数，建立和求解数学模型，得到生猪出售的最佳时机，然后讨论参数变化对模型解答的影响，最后讨论模型解答对模型假设的依赖性.3.模型建立和求解t～从现在开始计算的饲养生猪的天数，0tC(t)～农场在未来t天内累计投入的资金（元）c～农场每天投入的资金（元）w(t)～生猪在第t天的体重（公斤）r～生猪体重每天的增加值（公斤/天）p(t)～在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）g～生猪出售市场价格每天的降低值（元/公斤/天）R(t)～在t天之后出售生猪的收入（元）Q(t)～在t天之后出售比现在多赚的纯利润（元）.3.模型建立和求解模型假设：（1）农场每天投入的资金c为常数，c=3.2元，即()Ctct（2）现在生猪出售的市场价格为p(0)=12元/公斤，价格每天的降低值g为常数，g=0.08元/公斤/天，于是()(0)ptpgt(2.3.1)（3）现在生猪的体重为w(0)=90公斤，体重每天的增加值r为常数，r=1公斤/天，于是()(0)wtwrt(2.3.2)3.模型建立和求解所以在t天之后出售生猪的收入2()()()(0)(0)(0)(0)Rtptwtpwrpgwtgrt于是在t天之后出售生猪比现在出售多赚的纯利润为：2()()()(0)(0)(0)(0)QtRtCtpwrpgwctgrt(2.3.3)(2.3.3)式就是所求的优化目标函数，要求出当t取何值时，Q(t)达到最大值.这是求二次函数最大值问题.3.模型建立和求解（1）如果(0)(0)0rpgwc(2.3.4)则当(0)(0)2rpgwctgr(2.3.5)Q(t)达到最大值2max(0)(0)4rpgwcQgr(2.3.6)模型假设的具体数值满足(2.3.4)式，算得t=10，max8Q.（2）如果(0)(0)0rpgwc，则当t=0时Q(t)取得最大值0，即与其继续饲养，不如立即出售.图2.5051015012345678（1）g=0.08,rp(0)-gw(0)-c0tQ0246-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50（2）g=0.1,rp(0)-gw(0)-c0tQ4.灵敏度分析灵敏度分析，就是分析数学模型的某个参数变化时模型的解答的变化程度.可以在其它参数固定不变的情况下，考察某个参数发生微小变化时模型解答所发生的变化.这里所说的变化是相对变化，即改变量与原值的比值.本案例要求评估参数g或r的变化对模型解答的影响.4.灵敏度分析首先以r为例，研究r的变化对最佳出售时机t的影响.可以考虑如果r发生的相对变化为rr，则t发生的相对变化tt是rr的多少倍，即定义t对r的灵敏度为(,)ttStrrr(2.3.7)解释成：如果r增加1%，则t变化的百分比是1%的S(t,r)倍.如果S(t,r)很小，则t对r不灵敏；反之，则t对r灵敏，r的微小变化会带来t的较大的变化.4.灵敏度分析在实践中，由(2.3.7)式定义的灵敏度需要数值计算得到列表的结果（见表2.3）.表2.3数值计算t对r的灵敏度（r=1,t=10）r+Δrrr(%)t+Δttt(%)(,)ttStrrr1.01110.6446.43566.43561.05513.09530.9526.19051.11015.90959.0915.90914.灵敏度分析令Δr→0，就有d(,)dtttrtrStrrrrtrt，所以我们重新定义t对r的灵敏度为d(,)dtrStrrt.注意t是r的增函数：(0)(0)122pgwctggr.为了使t0，r应该满足(0)(0)0rpgwc.所以(0)(,)(0)(0)gwcStrrpgwc(2.3.10)代入具体数值，可算出S(t,r)=6.5.4.灵敏度分析定义t对g的灵敏度为(,)ttStggg(2.3.11)由(2.3.11)式数值计算得到的结果见表2.4.表2.4数值计算t对g的灵敏度（g=0.08,t=10）g+Δggg(%)t+Δttt(%)(,)ttStggg0.080819.4554-5.4455-5.44550.08457.381-26.19-5.23810.088105-50-54.灵敏度分析重新定义t对g的灵敏度为d(,)dtgStggt.注意t是g的减函数：(0)1(0)22rpcwtrgr.为了使t0，g应该满足(0)(0)0rpgwc.所以(0)(,)(0)(0)crpStgrpgwc(2.3.14)代入具体数值，可算出(,)5.5Stg.4.灵敏度分析r和g的微小变化对最佳出售时机t有一定的影响，不过影响并不算剧烈.在本案例中，在较短的时段内农场每天投入的成本大致是保持不变的，而生猪每天增加的体重也较容易得到准确的估计值，但是生猪出售的市场价格会经常发生波动，所以最为需要的是计算t对g的灵敏度.图2.601230102030405060（1）t是r的增函数rt0.040.060.080.1010203040506070（2）t是g的减函数gt5.强健性分析强健性分析，就是分析模型假设相对于实际情况的精确程度对模型解答的影响.本案例假设饲养生猪每天的投入c、生猪每天增加的体重r和出售价格每天的降低g都是常数，由此得到的生猪体重函数w(t)和生猪出售价格函数p(t)都是线性函数，从而纯利润函数是二次函数，这是对现实情况的简化，而且只适用于较短的时段内.例如现在生猪出售价格为12元/公斤，预测每天降低0.08元/公斤，照这样150天之后价格变成0了.5.强健性分析更实际的模型应考虑非线性和不确定性，则所求的优化目标函数可以写成()()()()(0)(0)QtptwtCtpw(2.3.15)假设(2.3.15)式中的所有函数均可导，于是求导可得()()()()()()QtptwtptwtCt所以如果Q(t)在t取得极值，t应该满足()()()()()ptwtptwtCt(2.3.16)在经济学上，出售的最佳时机恰好在单位时间内增加的出售收入等于单位时间内增加的投入的时候.5.强健性分析以上所讨论的更一般的数学模型应用在实际当中，遇到的困难是难以获得模型中的那些函数的准确形式，而且讨论在数学上是任意非负实数的出售时机t和价格p(t)也不一定有实际意义.依据近期的生猪的饲养情况和市场价格的走势，给出未来不长的一段时间内关于()pt、()wt和()Ct的估计值或者预测值，并且简化为常数，从而采用确定性的、线性化的模型，这应该是可行而合理的建模方法.5.强健性分析本案例中，()ptg，()wtr是根据估计或预测确定的，灵敏度分析说明，只要它们在未来不长的一段时间内变化不太大，由于假设它们是常数而导致的最佳出售时机的误差就不会太大，所以可以认为我们的模型是强健的.由于本案例的模型只适用于较短的时段内，因此在应用这个数学模型的时候，最好是每隔一周，重新估计模型的各个参数，用模型重新计算.