离散型随机变量及其概率分布课件

第十章统计与概率第十章第八节离散型随机变量及其概率分布(理)基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5基础梳理导学重点难点引领方向重点：随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式运用．难点：各种概率分布的判断及应用．夯实基础稳固根基1．离散型随机变量随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量．如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做随机变量．如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做随机变量．离散型连续型2．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1、x2、…、xi、…、xn，X取每个值xi(i＝1,2，…n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的分布列．X的分布列也可简记为：P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、…、n.(2)离散型随机变量的两个性质：①pi≥0，i＝1,2，…n；②p1＋p2＋p3＋…pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．3．两点分布如果随机变量X的分布列为X10Pp1－p其中0p1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率．4．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，(其中m是M，n中的最小值，n≤N，M≤N，n、M、N∈N*)．称分布列X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列，如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用．5．条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝．P(B|A)＋P(C|A)6．事件的独立性设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立．(1)如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．(2)如果A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，即事件A的发生与否不影响事件B的发生．(3)对于n个事件A1、A2、…、An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件的影响，则这n个事件A1、A2、…、An相互独立．如果A1、A2、…、An相互独立，那么P(A1A2…An)＝．P(A1)·P(A2)·…·P(An)7．独立重复试验与二项分布(1)一般地，在相同条件下，重复做了n次试验，这n次试验称为n次独立重复试验．(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率都为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．疑难误区点拨警示1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解(1)独立重复试验的条件第一：每次试验是在同样条件下进行．第二：任何一次试验中某事件发生的概率相等．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点关于P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A、B中至少有一个发生为A＋B；都发生为A·B；都不发生为A·B；恰有一个发生为A·B＋A·B；至多有一个发生为A·B＋A·B＋A·B.思想方法技巧解决概率问题的步骤第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验，把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生等等．第三步，运用公式求概率古典概型P(A)＝mn；互斥事件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；条件概率P(B|A)＝PABPA；独立事件P(AB)＝P(A)P(B)；n次独立重复试验：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.考点典例讲练[例1]写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；(2)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；随机变量及其取值的意义(3)在一个盒子中，放有标号分别为1、2、3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解析：(1)ξ可能取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12.用(x，y)表示第一次掷出点数为x，第二次掷出点数为y，则ξ的取值与对应的基本事件如表：ξ23456789101112基本事件(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)(4,6)(5,5)(6,4)(5,6)(6,5)(6.6)(2)ξ可能取值为1、2、3、…、10.ξ＝n表示第n次打开房门；(3)∵x、y可能取的值为1、2、3，∴0≤|x－2|≤1,0≤|x－y|≤2，∴0≤ξ≤3，∴ξ可能的取值为0、1、2、3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2,2)．ξ＝1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)，(3,3)．ξ＝2表示(1,2)，(3,2)．ξ＝3表示(1,3)，(3,1)．袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中1个红球，3个白球，从中任意摸出1个观察颜色，取后不放回，如果是红色，则停止摸球，如果是白色，则继续摸球，直到摸到红球时停止，记停止时的取球次数为ξ，则ξ所有可能取值的集合为____________，ξ＝2的意义为____________．解析：袋中共4个球，3白1红，取球后不放回，因此ξ的可能取值为1,2,3,4，即ξ∈{1,2,3,4}，ξ＝2表示第一次摸到白球，第二次摸到红球．答案：{1,2,3,4}第一次摸到白球，第二次摸到红球[例2]设随机变量X的概率分布列为X1234P1318m16，则P(|X－2|＝1)＝________.分析：可先由分布列的性质求出m，再找出满足|X－2|＝1的X的值，即可求得概率．离散型随机变量的分布列及其性质解析：13＋18＋m＋16＝1，解得m＝38，P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝13＋38＝1724.答案：1724点评：解答随机变量分布列中求参数值的问题时，要牢记分布列的两个性质：pi≥0，i＝1npi＝1.(2011·上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析：∵E(ξ)＝1×？＋2×！＋3×？＝4×？＋2×！＝2(2×？＋！)由性质知2×？＋！＝1，∴E(ξ)＝2.答案：2[例3]一次数学摸底考试，某班60名同学成绩的频率分布直方图如图所示．若得分90分以上为及格．从该班任取一位同学，其分数是否及格记为ξ，求ξ的分布列．两点分布解析：由直方图可知该班同学成绩在90分以上的频率为1－(0.01＋0.0025)×20＝0.75，由频率估计概率的原理知，从该班任取一名同学及格的概率为p＝0.75，记及格ξ＝1，不及格为ξ＝0，则ξ的分布列为ξ01P0.250.75袋中有大小相同的4个球，其中1个篮球，3个白球，从中任取一球观察颜色，并用ξ表示，取到篮球ξ＝0，取到白球，ξ＝1，则E(ξ)＝________.解析：P(ξ＝0)＝14，P(ξ＝1)＝34，∴E(ξ)＝0×14＋1×34＝34.答案：34[例4](2011·辽宁理，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12条件概率分析：两个数之和为偶数表示两个数都是偶数或两个数都是奇数，事件“AB”发生即取到的两数都是偶数．解析：∵P(A)＝C22＋C23C25＝410，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝PABPA＝14.答案：B(2012·宁夏银川一中模拟)从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)等于()A.15B.310C.25D.12解析：解法1：P(B|A)＝PABPA＝C23C2535＝12.解法2：P(B|A)＝nA∩BnA＝3×23×4＝12.答案：D[例5](2012·济宁市模拟)山东省第23届运动会将于2014年在济宁隆重召开，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下(单位：cm).超几何分布若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解析：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－C23C25＝1－310＝710.因此，至少有一人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C38C312＝1455，P(ξ＝1)＝C14C28C312＝2855，P(ξ＝2)＝C24C18C312＝1255，P(ξ＝3)＝C34C312＝155.因此，ξ的分布列如下：ξ0123P145528551255155故Eξ＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1.点评：要注意超几何分布的特点，是总数为N件的A、B两类物品，其中含M件A类物品，从中任取n件(n≤N)时恰含有A类物品m件，要严格按其特点作出判断．一批零件中有10个合格品，2个次品，安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是次品，则不再放回．(1)求最多取2次零件就能安装的概率；(2)