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三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.1 第四讲：和差倍问题基本功1、会画线段图2、熟练运用倍数关系一倍数=几倍数÷倍数几倍数=一倍数×倍数一般解题步骤1、画线段图（先画倍数关系，再标明数量）2、求一倍数（数量与倍对应好才能相除！）3、根据题目要求求相应的解一、和倍问题（知道几个数的倍数关系以及这几个数的和，求这几个数各是多少的问题）（一）整倍型例果园里有梨树和苹果树共324棵，苹果树的棵树是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？解析：1、画出线段图2、求一倍数324÷（1+5）=54（棵）……324棵对应的是6倍数3、求解苹果树棵树：54×5=270（棵）比梨树多：270-54=216（棵）或者苹果树比梨树多（5-1）倍，故54×（5-1）=216（棵）（二）非整倍型思路：先转化成整倍问题方法：“多”的减去，“少”的加上（多退少补）例2商店运来桔子、苹果、香蕉共53千克，桔子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，桔子重多少千克？解析：苹果是1倍数，画出线段图看图可知，根据“多”的减去，“少”的加上的原则，53加上3，减去2，则是一个整倍数。苹果 桔子 53 香蕉 3倍数 少3 多2 2倍数 梨树 苹果树 324棵 三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.2 计算一倍数：（53+3-2）÷（1+3+2）=9（千克）桔子：9×3-3=24（千克）例3略（方法同例2）（三）暗和注意：移来移去，总量不变例1傻哥哥有书25本，笨弟弟有书20本，问傻哥哥给笨弟弟多少本书后，笨弟弟的书是傻哥哥的书的2倍？解析：题目里的倍数关系是哥哥给完弟弟书后的情况，所以根据该关系画出的线段图是“移”完之后的。但不管怎么移，总的图书量不变，都是25+20=45（本）计算一倍数，即哥哥现在的图书量：（25+20）÷（1+2）=15（本）哥哥给弟弟的图书量：25-15=10（本）（四）暗倍注意：数字问题中，末尾添一个0即为原来的10倍例4两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数，求两个加数各是多少。解析：大数把个位的0去掉，即是÷10，得到小数，那么可知大数是小数的10倍，那么和应该就是（1+10）=11倍一倍数（小数）：682÷（1+10）=62大数：62×10=620（五）一倍数统一（选最小的当一倍数）例红、黄、蓝三个盒子共有56个珠子，红盒子里的珠子是黄盒子的2倍，蓝盒子里的珠子是红盒子的2倍，三个盒子各有多少个珠子？解析：1、画线段图。画三个数之间的倍数关系时，选取最小的作为一倍数。2、计算一倍数黄盒子：56÷（1+2+2×2）=8（个）红：8×2=16（个）蓝：16×2=32（个）黄 红 56 蓝 哥哥 弟弟 45 三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.3 例7甲乙丙三个数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2，求甲乙丙三个数各是多少？解析：先找倍数关系画线段图，丙最小，丙为1倍数，画出图形如下：注意：甲是乙的2倍多4，因为乙不是丙的整倍数，所以不容易直接画出甲与丙的倍数关系，建议照上图这样，将甲分段画，画为2个乙和一个2，就容易看出与丙的倍数关系了。丙：（78-4+2×3）÷（1+3+3×2）=8乙：8×3-2=22甲：22×2+4=48小窍门：对于代数思想好的同学，还可以这样思考。乙是丙的3倍少2，如果丙是a，那么乙是“3a-2”；甲是乙的2倍多4，即甲是2×（3a-2）+4=6a-4+4=6a。（六）各自变化后相等注意：画图时运用倒推思想家庭作业4某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划栽种这三种树各多少棵？解析：先找倍数关系画图，相等也是一种倍数关系（1倍）。再倒推回原来各自的情况。计算：200-10+6=196（棵）一倍数：196÷（2+1+1）=49（棵）杨树：49×2=98（棵）柳树：49+10=59（棵）槐树：49-6=43（棵）二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）（一）整倍型例6甲乙两筐梨，甲筐比乙筐重48千克，甲筐每天可以卖出的数量是乙筐的2倍，4天后两筐梨的重量一样多，甲筐每天卖出多少梨。解析：甲筐原比乙筐重48千克，4天后一样重，说明这4天甲筐比乙筐多卖了48千克。杨树柳树 槐树 10 6 杨树 柳树 槐树 丙 乙 78 2 甲 4 2 2 200 甲 48 乙 卖出三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.4 甲每天卖的都是乙的2倍，那么4天卖出的总和也是乙的2倍，那么多卖的48对应的就是（2-1）=1倍甲共卖出：78×2=96（千克）甲每天卖：96÷4=24（千克）（二）非整倍型略思路：先转化成整倍问题方法：“多”的减去，“少”的加上（多退少补）（三）暗差提示：在未直接告诉差的差倍问题中，可以先画草图，把差找到（熟练之后不用草图也能直接算出差），再把差“搬”到对应的倍数关系图上，就一目了然了。这里把经常出现的暗差情形小结一下：1、两数经过同样变化，差不变联想年龄问题，因为两人同时长大相同的岁数，所以两人的年龄差永远不变练大桶里有油60千克，小桶里有油30千克，将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍，问两个桶各剩油多少千克？解析：草图找差容易看出，原来与卖出后两个桶的差不变，差是60-30=30（千克）搬到这时的倍数图上计算一倍数，即小桶现在剩下的：30÷（4-1）=10（千克）大桶剩下：10×4=40（千克）2、开始相等倍数关系找差：反向变化用加法同向变化用减法练有两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米，这时第二块长度是第一块长的4倍，这两块电线原来各长多少米？解析：计算差（草图略）31-19=12（米）……同向变化用减法这时的倍数关系图计算一倍数，即第一块现在剩下的米数：12÷（4-1）=4（米）各自变化后第一块 第二块 12 小桶 大桶 60‐30 卖出卖出大桶 30 小桶 三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.5 两块布原来的长度：4+31=35（米）练有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来各长多少米？解析：草图找差容易看出，差是12+14=26（米）……即反向变化用加法搬到这时的倍数图上计算一倍数，即第一根现在剩下的米数：26÷（3-1）=13（米）两根绳子原来的长度：13+12=25（米）3、开始倍数关系相等找差：反向变化用加法同向变化用减法练甲、乙两人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍，如果甲取出80元，乙存入20元，甲乙的存款正好相等，甲乙二人原来各存款多少元？解析：图略（你能自己画出来吗）计算差（即甲原来比乙多多少元）：80+20=100（元）甲是乙的3倍，差对应的就是3-1=2倍计算1倍数，即乙原来的存款：100÷（3-1）=50（元）甲原来的存款：50×3=150（元）学案4两个筐中各有一些苹果，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克，从第二个筐中取出2千克，则两筐苹果重量相等，你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗？解析：图略（你能自己画出来吗）计算差（即第一筐比第二筐原来多多少千克）：26-2=24（千克）第一筐是第二筐的4倍，差对应的就是4-1=3倍计算1倍数，即第二筐原来的苹果：24÷（4-1）=8（千克）第一筐原来的苹果：8×4=32（千克）4、移多补少型核心思想：“给”一半，“多”两倍（给1个，会相差2个）例5李师傅生产了一批零件，把它们分成了甲、乙两堆，如果从甲堆零件中拿15个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数各自变化后第一根 第二根 原来14 12 第一根 第二根 26 三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.6 是乙堆的3倍，那么甲堆原来有零件多少个？李师傅一共生产了多少个？解析：如果从甲堆零件中拿15个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，说明甲堆比乙堆多15×2=30个，如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，这时两堆的差：15×2+30=60……给15，就相差30，再加上原来还多的30这时的倍数关系是：甲是乙的3倍，将差搬到倍数关系图上，得到找1倍数，即乙现在个数：60÷（3-1）=30（个）甲现在：30×3=90（个）甲原来：90-15=75（个）共生产：30+90=120（个）三、和差问题公式大数=（和+差）÷2小数=（和-差）÷2例8有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第3个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生只与7个男生握过手，问这些学生中有多少名男生？解析：本题题目比较难懂，对于这种题，可以想象场景，帮助自己理解题意。题目说“第一个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手”，为什么第二个女生还差一个男生没握呢，那个男生去哪里了呢？于是我们想象，这是一间教室，里面本来全是男生，第一个女生进来和所有的男生都握了手，然后就和其中一个男生跳舞去了，这样第二个女生进来时就少了一个男生，所以她就差一个男生没握过手。同样，第二个女生和剩下的男生握手之后也和其中一个男生跳舞去了，所以第3个女生就差2个男生没握手……最后一个女生进来时，只有7个男生了，所以她只和7个男生握过手，她也和其中一个男生跳舞去了。最后就剩下6个男生。那不就说明男生比女生多6个吗？原来这个题是和差问题呀！和是50，差是6，相信孩子们就都能做了。列式：男生（50+6）÷2=28（人）女生（50-6）÷2=22（人）学案2小刚和小明各有一定数量的玻璃珠，小刚比小明多21个，如果小刚送给小明几个玻璃珠后，小明的玻璃珠反而比小刚多出5个，那么小刚到底送给小明几个玻璃珠？解析：法一，移多补少里我们学过如果甲比乙多8个，要使两人一样多，则甲要把多出来的8个平均分，即给乙4个。本题有些不一样，但思想是一样的，即要把小刚多出来的平均分，但注意“多”出来的是21+5=26个。小明小刚乙 甲 60 乙 甲 30 15 15 21 5 三年级竞赛 2010秋季 第四讲 和差倍 程雪 三年级竞赛秋季班（五级下） 4.7 21+5最后要达到小明比小刚多5个的要求，就需要小刚把比小明多的21个拿出来后，还要拿5个出来，即一共拿26个出来平均分，所以给：（21+5）÷2=13（个）法二，小刚多出来的部分要分成两份，一份给小明，一份留给小刚。这两份和是21，差是5，就是一个和差问题了，同学们自己写算式吧。补充：倍数变化型（一）移来移去倍变型（总和不变）方法：总和不变，找公倍数画图学案3小红和小静都喜欢集邮，如果小静给小红7张邮票，小静的邮票数量就是小红的3倍，如果小红给小静5张