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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题13排列组合与二项式定理一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5)(x2+2x)5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知Tr+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2rx10-3r.当r=2时,x4的系数为C5222=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x)6的二项展开式通项为Tr+1=C6𝑟xr,(1+1𝑥2)(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×C62x2=15x2,另一部分是1𝑥2×C64x4=15x2,故(1+1𝑥2)(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】(2x-y)5的展开式的通项公式Tr+1=C5𝑟(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】先把4项工作分成3份有C42C21C11A22种情况,再把3名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有C42C21C11A22·A33=36种,故选D.6.(2016·四川·理T2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4【答案】A【解析】二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C6𝑟x6-rir,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为C62x4i2=-15x4,故选A.7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有C21A43个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有C31A43个.故满足条件的五位数共有C21A43+C31A43=(2+3)A43=5×4×3×2×1=120个.故选B.11.(2015·全国1·理T10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式通项为Tr+1=C5𝑟(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5).由题意,y的幂指数为2,故r=2.对应的项为C52(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2.记(x2+x)3的展开式通项为Ts+1=C3𝑠(x2)3-sxs=C3𝑠x6-s(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为10C31=30.12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】(x+1)n的展开式通项为Tr+1=Cnrxn-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为Cnn-2=Cn2=15,解得n=6,故选B.13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29【答案】D【解析】由条件知Cn3=Cn7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62·C51=6×52×1×5=75种选法,选C.15.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】B【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A55+C41A44=120+96=216.17.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【答案】B【解析】第1步,先排歌舞类节目,有A33=6种排法,排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有C21A22=4种排法,最后一个小品类节目排两端,有2种方法.共有6×4×2=48种排法.②中间两个空位安排2个小品类节目,有A22=2种排法,排好后有6个空位,选1个将相声类节目排上,有6种排法.共有6×2×6=72种排法.所以一共有48+72=120种排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10【答案】C【解析】含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为C62=15,故含x3项的系数是15.19.(2014·湖南·理T4)(12x-2y)5的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20【答案】A【解析】由已知,得Tr+1=C5r(12x)5-r(-2y)r=C5r(12)5-r(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=C53(12)2(-2)3x2y3=-20x2y3.20.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6𝑟xr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+1=C4ℎyh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6𝑟C4ℎxryh.∴f(m,n)=C6𝑚C4𝑛.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.21.(2013·全国1·理T9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由题意可知,a=C2mm,b=C2m+1m,∵13a=7b,∴13·(2m)!m!m!=7·(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1,解得m=6.故选B.22.(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【答案】B【解析】构成所有的三位数的个数为C91C101C101=900,而无重复数字的三位数的个数为C91C91C81=648,故所求个数为900-648=252,应选B.23.(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】因为(1+x)5的二项展开式的通项为C5rxr(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为C52x2+ax·C51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.24.(2013·辽宁·理T7)使(3x+1x√x)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】(3x+1x√x)n展开式中的第r+1项为Cnr(3x)n-rx-32r=Cnr3n-rxn-52r,若展开式中含常数项,则存在n∈N*,r∈N,使n-52r=0,故最小的n值为5,故选B.25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168【答案】D【解析】因为(1+x)8的展开式中x2的系数为C82,(1+y)4的展开式中y2的系数为C42,所以x2y2的系数为C82C42=168.故选D.26.(2012·湖北·理T5)设a∈Z,且0≤a13,若512012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12【答案】D【解析】∵512012可化为(52-1)2012,其二项式系数为Tr+1=C2012r522012-r·(-1)r.故(52-1)2012被13除余数为C20122012·(-1)2012=1,则当a=12时,512012+12被13整除.27.(2012·安徽·理T7)(x2+2)(1x2-1)5的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3【答案】D【解析】通项为Tr+1=C5r(1x2)5-r(-1)r=(-1)rC5r1x10-2r.令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)(1x2-1)5的展开式的常数项是(-1)4×C54+2×(-1)5×C55=3.28.(2012·全国·理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】A【解析】将4名学生均分为2个小组共有C42C22A22=3种分法,将2个小组的同学分