《微分中值定理》PPT课件

中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理微分中值定理ab12xyo)(xfyC一、函数的极值定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,12xoy12§2.6微分中值定理),(0xN二、定理1(费马定理）设函数f(x)在x0可导，若x0是f(x)的一个极值点，则f’(x0)=0.证：不妨设x0为f(x)的极大值点，则使对),ˆ(00xNxx有.0)()(00xfxxf,0x若;0)()(00xxfxxf则有,0x若;0)()(00xxfxxf则有;0)()(lim)(0000xxfxxfxfx;0)()(lim)(0000xxfxxfxfx,)(0存在xf).()(00xfxf.0)(0xf只有§2.6微分中值定理三、罗尔(Rolle)定理满足以下条件：若函数定理xf；baCxf,1；baDxf,2；bfaf30,fba，使得则注意：与零点定理的区别与联系.ab12xyo)(xfyC几何解释:.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABab12xyo)(xfyC10f例如:32)(2xxxf).1)(3(xx,]3,1[上连续在,)3,1(上可导在,0)3()1(ff且))3,1(1(,1取.0)(f),1(2)(xxf证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在由费马定理，必有.0)(f如果f(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件，因此,也称罗尔定理为导函数方程根的存在定理.,,0,abf则必存在使得也就是导函数方程ƒ′(x)=00,xfx即,.ab有根小结1：举例1];2,2[,xxy,,)0(]2,2[一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在f.0)(xf但找不到一点能使注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,[0,1].yxx举例20,10.f则不存在,使10ff例1.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.1的正实根方程有且仅有一个小于分析：(1)根的存在性：介值定理等；(2)唯一性：反证法注意：罗尔定理在这里用于反证法推出矛盾221,1,2Fxxfxfx例设其中在20.1,2f上二阶可导,又知试证在内存在1,21,2FxFx证在上连续,在内可导,120.FFFx所以满足罗尔定理的条件.111,2,0.F使2211,Fxxfxxfx又.0F，使得点110.FF，且11,1,1DCxFFx所以满足罗尔定理的条件..0,2,1,11F使得分析：通过结论猜测可能用到2次罗尔定理.类型题:8题12coscos3cos210naxaxanx方程证作辅助函数为满足，，设例naaa213xnnaxaxaxfn12sin123sin3sin2113coscos3cos21.nfxaxaxanx则的实数，证明：01213121naaann.2,0内至少有一个根在考虑介值定理/罗尔定理分析：13110.2321nnaafan0,,0,2f由罗尔定理使即方程13coscos3cos210naxaxanx0,.2在开区间内至少有一个根0,0,0022fxCDf显然，且，sincos0.ff使得，，求证：设例,0,0,04DCxf0,0,,FxC显然,且sin.Fxfxx证辅助函数作00,0,FF罗尔,故定理满足0,F使得sincos,Fxfxxfxx因sincos0.ff故证先证存在性.作辅助函数000,1110.FfFf由闭区间上连续函数的零点存在定理知,,xxfxF,1,0CxF，，使01,0F.f即5,0,10,101,fxCDfx例设函数且0,11.xfx有0,1,.f:存使得证明在唯一.反证法证唯一性用12120,1,若有两点使上满足罗尔定理的条件,于是12,0,1,0,1,Ff使得即0,10,1,.f故在内存在惟一的使,,2211ff21,在xF.1矛盾这与条件xf小结：注意罗尔定理在证明根“唯一性”问题中的应用5,0,10,101,fxCDfx例设函数且0,11.xfx有0,1,.f:存使得证明在唯一四、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值公式满足以下条件函数拉格朗日中值定理：若xf上连续；在闭区间ba,1内可导；在开区间ba,2abafbffba使得则,abfafbf或注意：结合平均变化率与瞬时变化率的实际例子来理解。分析：归结为导函数根的存在性问题；考虑罗尔定理。几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证作辅助函数xabafbfxfxF)()()()(，baDbaCxF,,0)()()(abafbff即bFabbafabfaF且满足以下条件函数拉格朗日中值定理：若xf上连续；在闭区间ba,1内可导；在开区间ba,2abafbffba使得则,abfafbf或(,),()0.abF由罗尔定理，则使得,),()(内可导在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成推论1.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxfy增量的精确表达式有限增量公式：由拉格朗日中值定理得到证作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),由题设,0xgxfxF根据推论1知F(x)=C(C为一常数),即f(x)-g(x)=C,故f(x)=g(x)+C.,,,,,,,2.fxgxDabxabfxgxabfxgxCC如果、且恒有则在内其中推为一常数论003limlim,xxxxfxfx存在或则00limxxfxfx3fx论若推满足：001,;fxxx上连续在002,;fxxx在内可导用此结论求分段函数在分界点的导数简便些.关键要满足：函数在分界点左(右)连续函数在分界点连续.fxxxfxf00因此0000limxxxfxfxfxx证00,,xxxxxfxx0,lim0.lim0xfxx，显然xxDxxCxf,,000,xx则使得0limxf同理：003limlim,xxxxfxfx存在或则00limxxfxfxfx若满足：001,;fxxx上连续在002,;fxxx在内可导问题关键要满足：函数在分界点连续23,1,1,1,1.,1xxfxxxxx例7讨论在点处的可导性解显然，f(x)在R连续(请同学们自己证明）.,1,3,1,22xxxxxf由推论３有:,limlim22111xxffxx,limlim331211xxffxx.1,11点处不可导在所以因为xxfff例9.)1ln(1,0xxxxx时证明当证),1ln()(xxf设,],0[)(上满足拉氏定理的条件在xxf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即注意：拉格朗日定理在证明不等式中的应用。,fbfaabfbaab[拉格朗日中值定理]...则使得10,,,fxCababfx例设函数在内,,afabfb存在,联接与直线与曲线,,.：yfxcfcacb相交于其中证明,,0.abf在内至少存在点使,ab证明将分成两个区间,,.accb与,,fxaccb在与上分别满足拉格朗日中值定理的条件.即习题8,,;fcfaacfca11使2,.fbfccbfbc2使,ABfcfafbfcKcabc又因为12,.ff所以罗尔定理的条件.fx又在区间12,,ab上满足12,,,0.abf使五、柯西(Cauchy)中值定理满足条件、柯西中值定理：若函数xgxf上式可改写为分析：0fagbggafbf即要证导函数方程0xfagbgxgafbf.,内有根在ba上连续；在闭区间ba,1