三角恒等变换课件

NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引第6课时三角恒等变换NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引1．化简三角函数式的基本要求：(1)能求出值的要求出值来；(2)使三角函数式的项数、三角函数的种类及角的种类尽可能少；(3)使三角函数式的次数尽可能低；(4)分母中尽量不含三角函数式和根式．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引2．三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角对应区间的单调性，从而达到解题的目的．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引1．在△ABC中，已知2sinA·cosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：∵2sinAcosB＝sin(A＋B)，且A，B∈(0，π)，∴sin(A－B)＝0，且－πA－Bπ，∴A＝B为等腰三角形．答案：BNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引2．已知π＜α＜2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2解析：∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cosα2＜0，∴cosα2＝－1＋cosα2.答案：CNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引3．已知tanα＝12，由cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()A．3B．6C．12D.32解析：cos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos2α＋2sinα·cosαcos2α＝2＋2tanα＝3.答案：ANO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引答案：π4．函数y＝12sin2x＋3cos2x－32的最小正周期等于________．解析：y＝12sin2x＋32(1＋cos2x)－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3.所以T＝π.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引5．若tanπ4－θ＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝________.解析：∵tanπ4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝3，∴tanθ＝－12.∴cos2θ1＋sin2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝cosθ－sinθcosθ＋sinθNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引答案：3＝1－tanθ1＋tanθ＝1＋121－12＝3NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引化简：(1)2sinπ4－x＋6cosπ4－x；(2)sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1sin2α.解析：(1)原式＝2212sinπ4－x＋32·cosπ4－x＝22sinπ6sinπ4－x＋cosπ6cosπ4－x＝22cosπ6－π4＋x＝22cosx－π12.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引(2)方法一：原式＝2sinα2cosα2－2sin2α22sinα2cosα2＋2sin2α24sinα2cosα2cosα＝cosα2－sinα2cosα2＋sinα2sinα2cosα2cosα＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2cosα＝tanα2NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引方法二：原式＝[sinα＋cosα－1][sinα－cosα－1]sin2α＝sin2α－cos2α＋2cosα－1sin2α＝2cosα－2cos2α2sinαcosα＝2cosα1－cosα2sinαcosα＝1－cosαsinα＝2sin2α22sinα2cosα2＝sinα2cosα2＝tanα2NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引【变式训练】1.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4解析：原式＝124cos4x－4cos2x＋12·sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝12，－12.(1)若a·b＝22，a·c＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a＝b＋c，求sin2α的值．解析：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝22，①a·c＝(cosα，sinα)·12，－12＝12cosα－12sinα＝3－14.②NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，得β＝5π12.从而2β－α＝23π.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引(2)由a＝b＋c可得cosβ＝cosα－12，③sinβ＝sinα＋12.④③2＋④2得cosα－sinα＝12，∴2sinαcosα＝34.∴sin2α＝34.NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引【变式训练】2.已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解析：(1)∵tanα2＝12，∴sinα＝sin2·α2＝2sinα2cosα2＝2sinα2cosα2sin2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan2α2NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引＝2×121＋122＝45.(2)∵0＜α＜π2，sinα＝45，∴cosα＝35.又0＜α＜π2＜β＜π，∴0＜β－α＜π.由cos(β－α)＝210，得0＜β－α＜π2.∴sin(β－α)＝9810＝7210，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinαNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引＝7210×35＋210×45＝25250＝22.由π2＜β＜π得β＝34π.或求cosβ＝－22，得β＝34πNO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引三角函数实际应用问题的解题步骤(1)确立三角函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(2)建立变量关系，根据题意确立A、ω、φ、b.(3)解决实际问题，作出结论．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引解析：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故点B的坐标为4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π2，∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2＝5.6－4.8cosθ(θ≥0)．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引(2)点A在圆上转动的角速度是π30rad/s，故t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝5.6－4.8cosπt30，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由cosπ30t＝－1，得π30·T＝π，∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．NO.1知能巧整合夯基砌高楼NO.2典例悟内涵点化新思路NO.3真题明考向备考上高速课时作业工具第三章三角函数栏目导引【变式训练】3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．(1)求出种群数量关于时间t的函数解析式(t以月为单位)；(2)画出种群数量关于时间t的函数图象．解析：(1)设所求的函数解析式为y＝A