西华大学专升本高等数学备考题型汇总

专升本高数备考-1-高等数学备考题型汇总第一章函数的极限与连续性（一）极限七大题型1.题型一()lim()mxnPxPx（,mn分别表示多项式的幂次）要求:A:达到口算水平；B:过程即“除大”。2.题型二()limxaa®有限分子分母将a带入分母3.题型三（进入考场的主要战场）()()limvxxaux®注：应首先识别类型是否为为“1¥”型！公式：1lim(1)e+=口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e。（三步曲）4.题型四：等价无穷小替换（特别注意：0）（1）A:同阶无穷小：lim0()xffg¹是g的同阶；B:等价无穷小：lim1(g)xffg和等价=；C:高阶无穷小：lim0(g)xffg是的高阶=.注意：fg和的顺序（2）常用等价替换公式：1sin~41~e7*arcsin~*arctan~2tan~5ln(1)~31cos~212611~n1n特别补充：21sec1~2（3）等价替换的的性质：1）自反性：~;=0¹0直接带入a求出结果就是要求的值¹0结果：¥=0“0/0型”用洛比达法则继续计算求值将a带入分子专升本高数备考-2-2）对称性：~~若，则；3）传递性：~~~.若，，则（4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换（5）另外经常使用：lnMMe=进行等价替换题型五lim()()0(()0,())xaxfxgxfxgx®?=不存在但有界有界：,|()|MgxM$［有界（sin,cos,arcsin,arccot,xxxx均有界）识别不存在但有界的函数：sin,cos,,2eゥゥ5.题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则6.题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分7.题型三&题型四的综合（二）极限的应用1、单侧极限（1）极限存在条件000lim()(0)(0)xxfxAfxfxA®=?=-=左左右右（2）极限的连续性000lim()()()xxfxfxfxxx®==即在连续000(0)(0)()fxfxfx?=-=（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点；第二，间断点分类（难）。A:间断点：定义域不能取值的内点B:间断点分类Ⅰ类可去Ⅱ类Ⅰ类跳跃0lim()xxfx®=A,Ⅰ类可去¥,Ⅱ类不存在，不能分类，求左右极限00(0)(0)fxfx+=-=有限00(0)(0)fxfx+?专升本高数备考-3-第二章导数及其应用与第七章多元函数微学分（一）导数定义定义一1、“陡”、“平”的形象叙述;2、00()'()dfxfxdx==攻唯一切线斜率（）;3、00()()tanfxxfxyxxb+-==;4、0000()()'()limxfxxfxfxx®+-=.拓展：0000()()lim'()fxfxAfx®+-==注意：1）分段点求导，永远用定义！2）有连续性条件时可直接带入定义二0000()()'()lim()xfxxfxfxx--®+-=（左导）左支0000()()'()lim()xfxxfxfxx++®+-=（右导）右支000'()'()'()fxfxfx+-?=存在（二）导数常用公式1c07(tan)x221seccosxx(cot)x221cscsinxx(sec)'xtansecxx(csc)'xcotcscxx2nx1,nnxn为常数3xaln,xaaa为常数4xexe5(log)ax1lnxalnx1x(lg)x1ln10x8(arcsin)'x211x(arccos)x211x(arctan)'x211x(cot)'arcx211x6sinxcosx(cos)xsinx（三）导数运算1、乘法运算：()'''uvuvuv=+()''''uvwuvwuvwuvw=++专升本高数备考-4-2、除法运算：2''()'uuvuvvv-=（四）复合函数求导（核心内容★★★）1、层次分析2、几点性质：（1）公式lnx1x，推广为：11(ln||)'||xxx=?（2）形如：()()vxux利用公式lnMMe=等价替换（3）奇偶性:①()'yfxy=?奇偶②()'yfxy=?偶奇（五）高阶导数1()!nnxn()0()mnxmn3()sinnxsin2nx()(cos)nxcos2nx2()1naxb1(1)!()nnnnaaxb4()()axnenaxae（六）微分1、基本知识'dyydx=注意求的时候要加“dx”.2、参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分()xxt()yyt公式：''ttydydxx=22()''ttdydydxdxx=3、符号型求导f层抽象符号层4、隐函数求导（必考）(),yfx一元显函数(,),ufxy二元显函数(),yyx一元隐函数题目一般形式是:(,)(,),fxygxy22dd,.ddyyxx求5、对数法求导巧用对数的性质，变形式子（七）导数的应用22dd,ddyyxx求标准形式：t为中间变量专升本高数备考-5-1、切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率×切线斜率=-1；2、洛必达法则（极限题型六）（★）()'()limlim()'()xaxaxxfxfxgxgx3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；单调性与极值求解A：单调性：'0,;'0,.yxIyyxIyB：单调性交界点→极值点（判据）C:极值点可疑点（'0&'yy不存在☆）D:渐近线lim(),()lim()()xxafxAyAyfxfxxayfx如果则是的水平渐近线；如果，则是的垂直渐近线.2）函数凹凸性与拐点A：''0,;''0,.yxIyyxIy凹（）凸（）B:凹凸性交界点且能取值→拐点C：拐点可疑点''0&''yy不存在☆一般求解步骤：（1）求定义域、渐近线；（2）计算',''yy；（3）求'0,''0yy的点和使',''yy不存在的点，设为123,,...xxx；（4）列表分析；（5）得出结论.4、函数最大值、最小值()[,]fxxab连续，比较：1）'()0,'fxf不存在极值可疑点；2）端点5、函数的实际应用步骤：（1）合理做设，x具有唯一性；（2）(),yfx建模；（关键点所在）条件：1.0,0；2.后有则前有注意：1．等价无穷小，乘除可换，加减忌换2．洛必达法则可重复使用专升本高数备考-6-（3）令*'0,()yxx符合实际；（4）唯一驻点，即为所求。二、多元微分学（一）显函数一阶偏导数'(,)xxuuuxyx变常'(,)yyuuuyxy变常（二）全微分一元函数：(),d'dyfxyyx此时，可微可导二元函数：(,),ddd.uuufxyuxyxy此时，可微偏导数存在，且连续（三）(高)二阶偏导数主要是求22ux2uxy2uyx22uy，分别定义为：222222(),(),(),().uuuuuuxxxxyxyuuuuuuyxyxyyy（四）二元隐函数求导(,,)0,()Fxyzzzxy一般一阶：''xzFzxF''yzFzyF二阶直接求：(,)zzxy（五）符号型求导（必考）1.(,2),ufxyxyf为已知函数（第二类）(重点)2.“求即变”：求哪个，哪个就是变量一定条件下，即连续时：22uuxyyx专升本高数备考-7-第三章一元函数积分学与第八章二重积分一、不定积分1.性质：[()d]'();d[()d]()d;d()()fxxfxfxxfxxFxFxC2.基本公式★1dnxx11(1)1nxCnn7cscdxxln|cotcsc|xxCsecdxxln|tansec|xxC21dxxln||xC3dxaxlnxaCa8221dxaxarcsinxCa221dxax1arctanxCaa221dxax1ln2axCaax21dxxA2lnxxAC4dxexxeC5sindxxcosxCcosdxxsinxC62secdxxtanxC2cscdxxcotxC（一）求不定积分的四大方法1、方法一（1）凑常数公式：1dd(),,xaxbaba均为常数（2）配方见到一元二次方程想到配方法（3）拆分公式：11()()1[]()()()()()()caxbacxdcaaxbcxdbcadaxbcxdbcadcxdaxb（4）利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二——固定搭配公式'()(())dxfxxx3、方法三——分布积分（1）一般分布积分专升本高数备考-8-公式：dduvuvvu关键：v是什么？1、设xxxf249)3lg(1)(,求()fx的定义域及((7))ff.（2）特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：2222sinlnsin3d,d,d,d,sind,sin(ln)d,cos4d1xxxxxexxexxxxxxxexxxx等等4、方法四——变量替换（1）一次项替换如:daxbx方法：直接令2,tbaxbtxa即.（2）二次项替换根据下表进行相应替换：原项换元22axsinxat22axtanxat22xasecxat二、定积分（一）定积分计算1.N-L公式（牛顿-莱布尼兹公式）()d()fxxFxC()d()()()bbaafxxFbFaFx主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算；2.变换——变限111()()()()()d[()]'()d.bbxtaatxfxxfttt三角函数x幂三角函数ev的优先级方向替换原理:根据下面两个三角变换得来的1.22sincos1xx2.221tansecxx高专升本高数备考-9-（二）定积分性质1.（1）()d0.aafxx（2）()d()d.abbafxxfxx2.d,(()d)0.dbaabfttx若为常数，3.更名：()d()d()d.bbbaaafxxfttf4.拆分：()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx积分性质的运用：（1）分段函数的定积分（2）函绝对值积分（3）三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）5.若()fx为奇函数，则()d0.aafxx★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1）()()dxagxftt(()d)'()xxafttfx★记住：与x没有关系推广：2()1()2211(()d)'(())'()(())'().xxxfttfxxfxx上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则（极限题型七）7广义积分三种形式：（1）()dafxx；（2）()dafxx；（3）()dfxx.解：定义：()duuaFfxx原式=limuuuFA（有限）收敛或不存在发散（三）定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕,xy轴轴）1.面积（1）“左右型”abyo1()x21[()()]dbaSxxx阴影*x积分x2()x专升本高数备考-10-（2）“上下型”2.旋转体体积（1）“坐在x轴上”（2）“坐在y轴上”二重积分1