常微分方程总复习

1常微分方程复习总结初等积分法一、主要概念常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导数（或微分）构成的等式。方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。变量可分离方程：形如)()(ddygxfxy或yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211的方程称为变量可分离方程。齐次微分方程：形如)(ddxyxy的方程，称为齐次微分方程。线性微分方程：未知函数和它的导数都是一次的微分方程。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是)()(ddxfyxpxy如果0)(xf,即0)(ddyxpxy称为一阶线性齐次方程。如果)(xf不恒为零，则称)()(ddxfyxpxy为一阶线性非齐次方程。伯努利（Bernoulli）方程：形如nyxfyxpxy)()(dd(1,0n)的方程，称为伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一阶方程0d),(d),(yyxNxyxM(1.1)的左端恰好是一个二元函数),(yxU的全微分，即yyxNxyxMyxUd),(d),(),(d(1.2)则称方程(1.1)是全微分方程或恰当方程，而函数),(yxU称为微分式(1.2)的原函数。积分因子：假如存在这样的连续可微函数0),(yx，使方程0d),(),(d),(),(yyxNyxxyxMyx成为全微分方程，我们就把),(yx称为方程(1.1)的一个积分因子。二、主要定理定理1.1假如),(yxU是微分式(1.2)的一个原函数，则全微分方程（1.1）的通积分为2CyxU),(，其中C为任意常数。定理1.2如果方程(1.1)中的),(),,(yxNyxM在矩形区域byyaxxR00,:上连续可微，则方程(1.1)是全微分方程的充要条件是：在R上有xNyM三、基本解法每种解法所对应的可积类型可归纳如下：对于导数已解出的一阶方程),(yxfy，有1．分离变量法：（1）显式变量可分离方程为：)()(ddygxfxy；当0g时，通过积分Cxxfygyd)()(d求出通解。（2）微分形式变量可分离方程为：yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211；当0)()(21xMyN时，通过积分CxxMxMyyNyNd)()(d)()(2112求出通解。（3）一阶齐次微分方程为：)(ddxygxy；令xyu，代入方程得xuugxu)(dd，当0)(uug时，分离变量并积分，得uuguxC)(d1e，即)(euCx，用xyu回代，得通解)(exyCx.2．常数变易法：（1）一阶线性非齐次微分方程为：)()(ddxfyxpxy；用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：]de)([ed)(d)(xxfCyxxpxxp。（2）伯努利方程为：)1,0()()(ddnyxfyxpxyn，两端除以ny，得)()(dd1xfyxpxyynn；令nyz1，代入后得到以z为未知函数的线性方程)()(dd11xfzxpxzn，在求通解。3．积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d),(d),(yyxNxyxM；若二元函数),(yxU满足：yyxNxyxMyxUd),(d),(),(d，则上式的原函数为：),(yxU.（2）如果存在连续可微函数0),(yx，使方程xyxMyxd),(),(0d),(),(yyxNyx成为全微分方程，则称),(yx积分因子。对于导数未解出的一阶方程0),,(yyxF有4．参数法：（1）类型Ⅰ)0),((,0),(yyFyxF3若参数形式)()(tytx，则参数形式通解为：Ctttytxd)()()(；或参数形式)()(tyty，则参数形式通解为：)(d)()(tyCtttx（2）类型Ⅱ)),((),,(yyfxyxfy若参数形式),(pxfypyxx，则参数形式解为：),(0),,(pxfyCpxG或参数形式),(pyfxpyyy，则参数形式解为：),(0),,(pyfxCpy对于高阶方程有降阶法：第一种可降阶的高阶方程)1(.0),,,,()()1()(kyyyxFnkk；第二种可降阶的高阶方程0),,,(nyyyF；假如方程0),,,,()(nyyyxF的左端恰为某一函数),,,,()1(nyyyx对x的导数，则称该方程为恰当导数方程。例题分析例1填空题（1）方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．解：将其化为),(ddyxfxy或),(ddxygyx形式，然后令方程右端的0),(yxf或0),(xyg，求出常数解，再代入方程验算，可以得到答案。应该填写：1,1xy（2）方程yxxysindd2的所有常数解是．解：应该填写：ky，,2,1,0k（3）方程yxxytandd2的所有常数解是．解：应该填写：ky，,2,1,0k（4）一阶常微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．解：应该填写：2求下列方程的通解或通积分：例20dd)2(yxxyx解：方程化为xyxy21dd4令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为：1Cxu原方程通解为：xCxy2例31ddxyxy解：齐次方程的通解为：Cxy令非齐次方程的特解为：xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为：Cxy+xxln例40d)ln(d3yxyxxy解：因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程．取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln例52)(yyxy解：原方程是克来洛方程，通解为：2CCxy例603)(22xyyy解：原方程是恰当导数方程，可写成：0)(3xyy即13Cxyy分离变量解此方程，通积分为：24124121CxxCy例71)ln(yxy解：令py，则原方程的参数形式为pyppxln1由基本关系式yxydd，有ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得Cppyln得原方程参数形式通解为5Cppyppxlnln1例80dd)e(2yxxyxx解：积分因子为：21)(xx，原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx即1e,eCCCxyx第2章基本定理一、主要概念延展解、不可延展解：设)(1xy是初值问题00)(),(ddyxyyxfxy(2.1)在区间RI1上的一个解，如果(2.1)还有一个在区间RI2上的解)(2xy，且满足(1)21II；(2)当)()(,211xxIx时；则称解11),(Ixxy是可延展的，并称)(2x是)(1x在I2上的一个延展解.否则，如果不存在满足上述条件的解)(2x，则称11),(Ixx是初值问题(2.1)的一个不可延展解，(亦称饱和解).这里区间I1和Ｉ2可以是开的也可以是闭的.奇解：如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解.奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.包络线：设给定单参数曲线族0),,(:)(CyxC其中C为参数，Φ对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L，其上任一点均有(C)中某一曲线与L相切，且在L上不同点，L与(C)中不同曲线相切，那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络.二、主要定理定理2.2(存在与唯一性定理)如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在闭矩形域byybyaxxaxR0000,:上满足如下条件：(1)在R上连续;(2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点),(yx和),(yx有不等式：yyNyxfyxf),(),(则初值问题(2.1)在区间0000hxxhx上存在唯一解：600)(),(yxxy其中),(max),,min(),(0yxfMMbahRyx．定理2.3如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在区域2RD上连续，且对y满足局部李普希兹条件，则对任何Dyx),(00，初值问题(2.1)存在唯一的不可延展解.定理2.4如果方程),(ddyxfxy的右端函数),(yxf在(有界或无界)区域D上连续，且关于y满足局部李普希兹条件，那么对于D上任意一点),(00yx，方程),(ddyxfxy的以),(00yx为初值的不可延展解),(),(xxy，当00xx和时，相应积分曲线上的点))(,(xx都趋于D的边界.定理2.6若L是曲线族0),,(:)(CyxC的包络线，则它满足如下的C-判别式0),,(0),,(CyxCyxC(2.2)反之，若从(2.2)解得连续可微曲线)(),(:CyCx且满足：0)()(22CC和0)),(),(()),(),((22CCCCCCyx,（称为非退化条件），则是曲线族的包络线.三、基本解法1．不存在奇解的判别方法：（1）若方程在全平面上解唯一，则方程不存在奇解；（2）若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解．2．求奇解的包络线求法．若L是曲线族0),,(:)(CyxC的包络线，则其满足C—判别式（2.2）．在非蜕化条件下，从C—判别式解出的曲线)(),(:CyCx是曲线族的包络线．四、复习要求1．知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法．2．了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延展定理，3．了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的C-判别式，掌握奇解的4．掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法．本章重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。五、例题分析例1填空题7（1）方程xxyxyesindd的任一解的最大存在区间必定是．解：将方程整理为：),(sineddyxfxyxyx因为在矩形区域R：yx,内，方程右端的),(yxf满足解的存在、惟一性定理的条件，所以应该填写：),(（2）方程yxxycossindd满足解的存在唯一性定理条件的区域是．解：因为在矩形区域R：yx,内，方程右端的),(yxf满足解的存在、惟一性定理的条件，所以应该填写：xoy平面（3）李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．解：由教材第105页可以知道，应该填写：充分（4）方程21ddyxy的奇解是．解：由教材第123页的例2.4.4可以知道，应该填写：1y例2单项选择题（1）),(yxfy连续是保证),(yxf对y满足李普希兹条件的（）条件．（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分解：由教材第页的说明1可以知道，正确答案：A（2）方程21yy过点)0,0(的解xysin，这个