数学在经济生活中的应用

数学在经济生活中的应用例1设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润解:总成本函数为C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）例2某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：R（Q）=20QL（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）=-Q2+30Q-20L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。例3设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：产品的总成本函数收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=--L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得∵L’’(Q)=-15000∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。例4X银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？解两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A为一年后：A=100（1.08），两年后：A=100（1.08）2，…，t年后：A=100（1.08）t.而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4元，所以余额B为一年后：B=100（1.02）4，二年后：B=（1.02）4×2，…，t年后：B=（1.02）4t。注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，计算一年后的总余额显示一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）.例5你买的彩票中奖1百万，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250000元的支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额920000元的一次付清方式，也就是现在支付，假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？解：我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250000元的支付方式的现总值为P,则P=250000=250000e06.0+250000e206.0x+250000e306.0x=250000+235411+221730+208818=915989＜920000因此，最好是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式例6:设银行存款现值P和将来值B，年利率为r．则t年后的本利和即将来值B=（1+r）t若一年分n次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为B=P(1+nr)n而t年后的本利和即将来值为B=P(1+nr)tn当∞→n时，则t年后的本利和即将来值为B=lim(x-∞）P(1+nr)tn=pet从而现值p和将来值B之间的关系为B=pet现值P为1，利息r为100%，t=1，则得B=e例7：某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？解：当q=10时的总成本为C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）所以平均成本（单位成本）为C(10)÷10=130÷10=13（元/件）边际成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。例8：某公司总利润L（万元）与日产量q（吨）之间的函数关系式（即利润函数）为1500.005q-2qL(q)L2−==。试求每天生产150吨，200吨，350吨时的边际利润，并说明经济含义。解：边际利润ML=L(q)=2-0.01qqML=2-0.01×150=0.5qML=2-0.01×200=0qML=2-0.01×350=-1.5从上面的结果表明，当日产量在150吨时，每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元；当日产量在200吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350吨时，每天产量再增加1吨反而使总利润减少1.5万元，由此可见，该公司应该把日产量定在200吨，此时的总利润最大为：L=2×200-0.005×200²-150=50（万元）从上例可以发现，公司获利最大的时候，边际利润为零。例9Q=f（P）=-12+4P+2P2,求当P=3时的供给价格弹性。解由于供给价格弹性解ES=P·f′(P)=P4=2p/-12+4p+p²P=3时ES=310由上可知P的供给价格弹性的经济意义是P时高或降低1Q起变动对价格变动的灵敏程度.例10设某商品的需求函数为Q=e-p5(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2η(3)=0.61，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。