易拉罐设计数学模型

12006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校第五队参赛队员：1.张晶晶2.刘美琴3.王超鹏指导教师：王亮亮2006年9月18日22006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校参赛队员(打印并签名)：1.张晶晶2.刘美琴3.王超鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮日期：2006年9月18日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：32006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：4易拉罐形状和尺寸的设计摘要本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。关键词：等边圆柱易拉罐注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。5一、问题的提出体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，高是半径的2倍时，表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱形时，消耗的材料最少，生产成本最低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱形的，有的长些，有的短些，这是为什么呢？由于在现实生活中，销量广的饮料的饮料罐在形状与尺寸上存在着惊人的相似（如表1），这就不能不引起人们的关注。既然它能如此大面积、大范围的应用，其内部必定存在着一定的合理性及科学性，能给商家以无尽的利润。表1参数产品圆柱体直径圆台上直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料的厚度圆柱体高圆台高百事可乐65.5658.680.140.49109.8613.25可口可乐66.4059.060.140.47110.4812.96醒目65.8258.650.150.48110.4012.52雪碧64.6058.840.140.49110.1212.64现要我们在体积一定的情况下（355ml），根据一定的理论，建立起数学模型，使其用料最少，赢利最大。达到一种最优化的效果。下面是关于355ml可口可乐饮料罐的有关数据（如表2）：（单位：mm）表2参数次数圆柱体的直径圆台上盖直径圆柱体材料的厚度圆台盖材料的厚度圆柱体高圆台高饮料罐总高第一次66.0059.120.140.48110.0012.30122.40第二次65.9059.340.160.50111.2013.22124.66第三次66.1058.900.140.46110.2012.90123.22平均值66.0059.120.140.48110.4712.81123.43附：此数据是我们组的3位同学用游标卡尺分别测量所得。二、模型的建立及求解模型Ⅰ：根据等周原理，在所有周长一定的闭合图形中，圆的面积最大。所以在面积一定的情况下，圆的周长最短。在实际应用中，由于圆球的制造与应用的局限，所以我们一般选用易拉罐的的形状为圆柱体还是具有一定的合理性。事实上，由于制造工艺等因素，它不能正好是数学上的圆柱体，但这种化简假设是近似的合理的，材料的厚度以及切割损耗等忽略。因此在这种前提下假设：1．模型Ⅰ是用同一材料制成的正圆柱体，且其材料的厚度不记。62．圆柱体的半径为r，高为h，表面积为S，体积为V。示意图如下：图1根据图示有：hrV2222rrhS由hrV2，得：2rVh代入222rrhS，建立模型有：2222rrVrS化简为222rrVS为了求的S的极值，将S对r求导，得：rrVrS42)(2/令0)(/rS,解得：32Vr,drVVVVrVh222284333222对于装有355ml的可口可乐易拉罐，当它的半径837863902.323553rmm，675727804.72rhmm时，用材最少，此时的表面积约为277.49811542mm。为了验证r确实是使S达到极小，计算S的二阶导数)0(044)(3//rrVrS，所rh7以这个r确实是使S达到局部极小，因为极小点仅一个，因此这个点也是最小点。所以当圆柱体易拉罐的高度与底面直径相等时，它所需材料最少。即当易拉罐采取圆柱体形状在2:1:rh时，为它的最优化设计。但此时的结果与我们所测的易拉罐的尺寸并不相同（比如：我们所计算的结果h:r=1：2，而所测量的结果比为1：3.74），也即不能合理地说明我们所测量的尺寸。模型Ⅱ：在理论上得出模型Ⅰ的基础上，又考虑到罐内饮料存在气体使罐内压强增大，所以在设计时我们必须为其预留一定空间以缓解罐所受到的压力。假设：1．1立方厘米的水和饮料的重量都是1克。则对于355ml（即355克）的可口可乐，我们测得未打开罐时饮料罐的重量为370克，空的饮料罐重量为15克，装满水的饮料罐重量为380克，这说明饮料罐不能装满饮料，而是留有10ml的空间余量。于是我们在模型Ⅰ的基础上另加一个体积为10ml的正圆台，来作为易拉罐的空间余量。（圆台除了可以节约成本外，还能起到减少压力，使封装结实的作用）。2．易拉罐材料的厚度不记。3．圆柱体的半径与高同模型Ⅰ相同，圆柱体的上部是一个上半径为0r，高为0h的正圆台。该模型总高为H。4．为了保证模型Ⅰ的圆柱体与我们所加的正圆台之间衔接牢固、耐压。我们不妨设圆台母线与其底面的斜率为0.3。示意图如下：图2建立模型，则有：圆台体积)(3.0)(311000202rrrrrr将模型Ⅰ中的r值代入，求得：mmr43711064.32255300r0hr8则圆台的高为：mmrrh120225978.0225523553.0)(3.03300因此模型Ⅱ的总表面积为：0020209.122212rrrrrrrhS代入r、h、0r的值，有；9011973.277S2mm此时，即03132627.20rhhrH时，为它的最优化设计。此种结果也不能合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸模型Ⅲ假设：1.模型Ⅲ的形状与模型Ⅱ保持一致,同时模型Ⅲ各部分的材料也相同。2．考虑到实际中易拉罐上底的强度必须要大一点，因此顶部的厚度与侧面的厚度不同。我们假设罐侧面的厚度为b，顶部的厚度为3b。3．模型Ⅲ的底部与侧面的厚度相同。模型Ⅲ侧面所用材料的体积为：bhrbrV22132222bhbrbrhb模型Ⅲ顶盖所用材料的体积为：2023rbV模型Ⅲ底部所用材料的体积为：23rbV模型Ⅲ圆台侧面所用材料的体积为：brrbrbrV00409.12221brrbrr0202209.10220209.1209.1rrbrrb∴模型Ⅲ总体所用材料的体积为：4321VVVVV0220222032209.1209.1322rrbrrbrbrbbhbrbrhb因为b＜＜r，所以带2b，3b的项可以忽略，因此：920222009.132rrbrbrbrhbV32323232225509.122553235509.123555b=4.5693085343657ml模型Ⅲ下底的面积为：21）（brS模型Ⅲ柱身的面积为：))((22bhbrS模型Ⅲ圆台顶盖的面积为：203)(brS模型Ⅲ圆台侧面的面积为：)(09.1)(2)(221004rrbrbrS模型Ⅲ总的表面积为：4321SSSSS代入相关数据，有：48343275417.279S此时，模型Ⅲ的高/H＝模型Ⅱ的高Ｈ＋顶盖厚３b＋底厚b，模型Ⅲ的半径Ｒ＝模型Ⅱ的半径r＋侧面厚b。即03949957.2/RH时，为它的最优化设计。模型Ⅳ考虑到现实中材料造价的不同，为了使生产成本降低。那么当高与半径之比为多少时才能使造价最少，这不能不做为我们思考的一个问题。假设：1.模型Ⅳ顶盖的单位造价为p，其他部分的单位造价为q。（盖料价格最贵，通常为LMEA199.7原铝锭价格加1500～1800美元/吨。罐身价格为.A199.7价格加700美元/吨。）2.我们先不计圆台，把模型Ⅳ看成一个圆柱体，此时圆台的高为h（外高），底面半径为r（外径）。3.体积v表示模型Ⅳ的总体积，包括材料体积、饮料体积以及空余量体积。（数值上大约等于369.5693085343657ml）圆柱体的体积为：hrV2…………………………………………………………（1）圆柱体的造价为：rhqpry222……………………………………………（２）由（1）式得：102rVh…………………………………………………………（3）将（3）式代入（2）式，得：qrVrpry2222rVqpr222将y对r求导，有：2/24rVqprry令0/ry，得：32pVqr将有关数值代入，解得：927594.2rmm72535.13hmm此时，模型Ⅳ的表面积为：rhrS22代入相关数据，有：11645444936.306S此时，即68827.4rh，344135.2dh时，为它的最优化设计。模型Ⅴ我们以355ml可口可乐饮料罐为例，考虑到厂家制造商品的利益情况，在设计时应尽量地降低材料减少造价。因此作出如下假设：1．罐内压强变大一点，罐顶盖能承受住。2．模型内部还必