切线的性质和判定.习题集(2014-2015)-教师版

秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page1of13如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．（1）求证：ACCD；（2）若2OB，求BH的长．（2014北京中考）【答案】（1）证明：连接OC∵BD为⊙O的切线，AB为直径；∴90ABD；∵C点为弧AB中点；∴90COA∴COBD∥；∵O点为AB中点，∴点C为AD中点，即：ACCD．（2）解：∵COAB；E为OB中点，2OB，∴1OBBE．∵COFD∥，∴COEFBE△△，∴2BFCO．∵AB为直径，∴90AHBABF．真题链接切线的性质和判定秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page2of13∵BFHAFB，∴ABFBHF∽△△．∴2ABBHBFFH，∴::1:2:5BHFHBF．∵2BF，∴245255BH．题型一：切线的性质【例1】如图，两个等圆O⊙和O⊙′，O⊙′的两条切线OAOB、，AB、是切点，则AOB等于__________．【答案】60BAO'O【例2】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°（山西中考）OEBDCA【答案】B【例3】如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（）（广西贵港中考）A．80°B．110°C．120°D．140°PCABO【答案】B【例4】如图，半径为3cm的O⊙切直线AC于B，cmAB3，cmBC3，则AOC的度数是______．课堂练习秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page3of13OCBA【答案】连结OB∵AC切O⊙于B，∴OBAC，即90OBCOBA在RtBOC△中，3tan3BCBOCBO，∴30BOC在RtAOB△中，tan1ABAOBBO，∴45AOB∴75AOCAOBBOC．【例5】如图，已知点E在ABC的边AB上，以AE为直径的O⊙与BC相切于点D，且AD平分BAC．求证：ACBC．OEDCBA【答案】连结OD，∵BC是O⊙的切线，∴ODBC，∵OAOD，∴OADODA，∵AD平分BAC，∴BADCAD，∴CADODA，∴ODAC∥，∴ACBC．ABCDEO【例6】已知：如图，ABC△中，ABAC，PD是O的切线，以AB为直径的O交BC于点P，PDAC于点D．若120CAB，2AB，求BC的值．【答案】连接AP，∵AB是直径，∴90APB；∵2ABAC，120CAB，∴60BAP，∴3BP，秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page4of13∴23BC．【例7】如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将ACE△沿AC翻折得到ACF△，直线FC与直线AB相交于点G．若2OBBG，求CD的长．【答案】连接CO∵OAOC，∴12．由翻折得，13，90FAEC．∴23，∴OCAF∥．∴90OCGF．∴直线FC与O相切．在RtOCG△中，1cos22OCOCCOGOGOB，∴60COG．在RtOCE△中，3sin60232CEOC．∵直径AB垂直于弦CD，∴223CDCE．【例8】如图，O的直径13AC，弦12BC．过点A作直线MN，使12BAMAOB．延长CB交MN于点D，求AD的长．NMDBCOA【答案】∵12BAMAOB=ACB秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page5of13∵90ABCABD∴ABCDBA△∽△∴ABADBCAC，51213AD题型二：切线的判定这部分题目中第二问会涉及到三角函数和相似方面的知识，请老师们依据实际情况讲解。【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DFAC于F．求证：DF为⊙O的切线；OFEABCD【答案】连接,ODAD．∵AB是⊙O的直径，∴90ADB．又∵ABAC，∴D为BC的中点．又∵O为AB的中点，∴OD//AC．∵DFAC，∴DFOD．又∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线．【例10】如图，AB是⊙O的直径，点E是弧BD上一点，DACAED．求证：AC是⊙O的切线；【答案】∵AB是⊙O的直径，∴90ADBADC．∵BAEDCAD，CC，∴90CCADCB，∴90BACADC．秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page6of13∴AC是⊙O的切线．【例11】已知：如图，在△ABC中，ABAC．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE与⊙O相切；【答案】证明：连接OD.∵AB=AC,∴BC.又∵OBOD,∴1B.∴1C.∴OD∥AC.∵DE⊥AC于E,∴DE⊥OD.∵点D在⊙O上，∴DE与⊙O相切.【例12】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．求证：EF与⊙O相切【答案】连接OD.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB.∴∠ODF=∠AEF.∵EF⊥AB，∴∠ODF=∠AEF=90°.∴OD⊥EF.∵OD为⊙O的半径，秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page7of13∴EF与⊙O相切.【例13】如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.求证：PC是⊙O的切线.【答案】证明：连结OC．∵OE⊥AC，∴AE=CE．∴FA=FC．∴∠FAC=∠FCA．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA．即∠FAO=∠FCO．∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB．∴∠FCO=∠FAO=90°．∴PC是⊙O的切线．【例14】如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点.求证：DE为⊙O的切线.(2013海淀期末)ODCEBA【解析】如图，连接OD，BD.∵在⊙O中，OBOD，∴∠1=∠2.秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page8of13ODCEBA∵AB是⊙O的直径，∴90CDBADB.∵E为BC中点，∴EBBCED21.∴∠3=∠4.∵BC切⊙O于点B，∴90EBA.∴904231,即90ODE.∴DEOD.∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线.【例15】如图，AB是O⊙的直径，C点在圆上，CDAB于D．P在BA延长线上，且PCAACD．求证：PC是O⊙的切线．ODCBAP【答案】连结OCBC、∵AB是O⊙的直径，∴90ACB，∴90CABB，∵CDAB，∴ACDB，∵PCAACD，∴BPCA，∵OAOC，∴OACOCA∴90PCAOCABOAC，∴OCPC，∴PC是O⊙的切线．PABCDO【例16】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若AE=6，sin∠CFD=35，求EB的长．秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page9of13（2013西城一模）FCODBEA【答案】（1）证明：连接OD∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB.∴∠ODF=∠AEF.∵EF⊥AB，∴∠ODF=∠AEF=90°∴OD⊥EF∵OD为⊙O的半径，∴EF与⊙O相切.（2）由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF.在Rt△AEF中，sin∠CFD=AEAF=35，AE=6.∴AF=10.∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴AEODAFOF.设⊙O的半径为r，∴10-r10=r6.解得r=154.∴AB=AC=2r=152.∴EB=AB-AE=152-6=32.秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page10of13【例17】如图，在RtABC△中，90B，A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DEDC，以D为圆心，DB为半径作⊙D。（1）求证：AC是⊙D的切线。（2）求证：ABEBAC。CDBEA【答案】（1）过D作DFAC，∵AD平分BAC，DBAB．∴BDDF，∴AC是⊙O的切线．（2）在RtABD△和RtAFD△中，ADADBDDF∴RtRtABDAFD△△∴ABAF，在RtBDE△和RtFDC△中BDDFDEDC∴RtRtBDEFDC△△∴BECF∴ABBEAFCFAC【例18】如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BD=3，求AB的长．（2013延庆一模）【答案】（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，∵AC是切线，秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page11of13∴OA⊥AC，∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴OA=OE，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，∵AC、CD、BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3，∴CD=CE+DE=5，∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形，∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1，在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=CF=2．【例19】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O⊙与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．⑴求证：CD与O⊙相切；⑵若正方形ABCD的边长为1，求O⊙的半径．OFEMDCBA【答案】连接OM，作ONCD于N点．⑴∵BC切O⊙于M，∴OMBC∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，ONCD，∴OMON，即ON是O⊙的半径∴CD与O⊙相切．秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page12of13OABCDMEFN⑵由⑴易知四边形OMCN是正方形∴2OCOM，设O⊙半径为r正方形ABCD的边长为1，∴对角线2AC∴22rr∴22221r，即O⊙的半径为22．【练习1】如图，AB为O⊙的直径，C为O⊙上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分DAB．ABCDO【答案】连接OC，∵CD与O⊙相切，∴OCCD，∵ADCD，∴OCAD∥，∴CADACO，∵ACOCAO，∴CADCAO，∴AC平分DAB．【练习2】已知：如图，P是AOB的角平分线OC上一点，PEOA于E．以P点为圆心，PE长为半径作P⊙．求证：P⊙与OB相切．EPCBAO【答案】过P点作PDOB于D，∵OC平分AOB，P是OC上一点，且PEOA∴PDPE，∵PE是P⊙的半径，∴PD是半径，课后作业秋季同步课·圆·切线的性质与判定·学案·教师版Page13of13∴P⊙与OB相切.DOABCPE【练习3】如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：APBP．BAPO【答案】连接OP，∵AB与小圆相切于点P，∴OPAB，∵OAOB，∴APBP【练习4】如图，直线AB经过O⊙上的点C，并且OAOB，CACB．