数学分析10.5定积分在物理中的某些应用

第十章定积分的应用5定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1：如图所示为一管道的圆形闸门(半径为3米).问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？解：圆的方程记为：x2+y2=9.由相同深度的静压强等于水的比重(v)与深度(x)的乘积，当△x很小时，闸门上从深度x到x+△x的狭条△A所受的静压力为：△P≈dP=2vx2x9dx.闸门上所受的总压力为：P=302x9vx2dx=18v.二、引力例2：一根长为l的均匀细杆，质量为M，在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点。试求细杆对质点的万有引力。解：如图，细杆位于x轴上的[-2l,2l]，质点位于y轴上的点a.任取[x,x+△x]⊂[-2l,2l]，当△x很小时，把这一小段细杆看作一质点，其质量为dM=lMdx.于是它对质点m的引力为：dF=2rkmdM=lMxakm22dx.又dFx=dFsinθ,dFy=dFcosθ,且Fx=22xdFll=0；Fy=22ydFll=-2θcosMxakm2022lldx=-22022)xa(kmMa23lldx=-a4a2kmMa22l.例3：设有一半径为r的圆弧形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心正上方距圆弧所在平面为a的地方有一电量为q的点电荷.试求圆弧形导线与点电荷之间作用力(引力或斥力)的大小.解：把中心角为dφ的一小段导线圆弧看作一点电荷，其电量为dQ=δrdφ.它对点电荷q的作用力为：dF=2ρkqdQ=22rakqrδdφ.dFz=dFcosθ=dF·22raa=23)ra(akqrδ22dφ.∴它们之间的作用力为：Fz=π20zdF=π202223)ra(akqrδdφ=23)ra(πakqrδ222.三、功与平均功率例4：一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水。试求将全部池水抽出池外需作的功.解：如图，记深度为x到x+△x的一薄层水△Ω抽至池口需作功△W.当△x很小时，△Ω的体积为△V≈π[15(1-10x)]2△x，则△W≈dW=πgvx[15(1-10x)]2dx.其中v表示水的比重.∴将全部池水抽出池外需作的功为：W=225πgv1002)10x1(xdx=1875πgv.例5：在纯电阻电路中，已知交流电压为V=Vmsinωt，求在一周期[0,T](T=ω2π)内消耗在电阻R上的能量W，并求与之相当的直流电压.解：电阻R的瞬时功率为：P(t)=ωtsinRV22m.在任意一小段时间区间[t,t+△t]⊂[0,T]上，当△t很小时，把V近似看作恒为Vmsinωt.取功的微元为dW=P(t)dt.∴W=T0P(t)dt=ω2π022mωtsinωRVdωt=ωRπV2m.其平均功率P=T0P(t)T1dt=R)(22Vm.∴与之相当的直流电压为V=2Vm.(称为该电流电压的有效值)注：通常所说的220伏交流电，其实就是V=2202sinωt的有效值.习题1、有一个等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米.计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：由相同深度的静压强等于水的比重(v)与深度(x)的乘积，当△x很小时，闸门上从深度x到x+△x的狭条所受的静压力为：△P≈dP=(6+5x20)vxdx=v(10x-5x2)dx.闸门上所受的总压力为：P=v20025x-x10dx=54400v.2、边长为a和b的矩形薄板，与液面成α(0α90⁰)角斜沉于液体中.设ab，长边平行于液面，上沿位于深h处，液体的比重为v.试求薄板每侧所受的静压力.解：如图建立直角坐标系，x轴在竖直方向上，y轴在液面上.当△x很小时，深度为x到x+△x的狭条△S所受的静压力为：△P≈dP=avxsinαdx.∴薄板每侧所受的静压力为：P=bsinαhhdP=bsinαhhxsinαavdx=abvh+21ab2vsinα.3、直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，求球面上所受静压力.解：如图建立直角坐标系，x轴在竖直方向上，y轴在液面上.水的比重为1(吨/米3).当△x很小时，深度为x到x+△x的圆环狭带△S所受的静压力为：△P≈dP=2πx2)10-x(9dx.∴球面上所受静压力为：P=317dP=2π3172)10-x(9xdx=90π2(kN).4、设在坐标轴的原点有一质量为m的质点，在区间[a,a+l](a0)上有一质量为M的均匀细杆.试求质点与细杆之间的万有引力.解：万有引力的微元为：dF=lMxkm2dx=xkmM2ldx，∴质点与细杆之间的万有引力为：F=laadF=llaa2xdxkmM=)a(akmMl.5、设有两条各长为l的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c.每根细杆的质量为M.试求它们之间的万有引力解：如图，△x很小时，将x到x+△x的一小段看作质点，根据上题的结论，有dF=llM)cc)(x(xkMdx=)cc)(x(xkM2lldx，∴它们之间的万有引力为：F=l0dF=lll02)cc)(x(xdxkM=kM2ll0cx1cx1dx=kM2lnc2cc)(22ll.6、设有半径为r的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为δ，在圆心处有一单位正电荷，试求它们之间作用力的大小.解：如图，把中心角为dφ的一小段导线圆弧看作一点电荷，其电量为dQ=δrdφ.它对单位正电荷的作用力为：dF=2rkdQ=rkδdφ.∵dFx=dFsinφ.∴它们之间的作用力为：Fx=π0xdF=π0φsinrkδdφ=r2kδ.7、一个半球形(直径为20米)的容器内盛满了水.试问把水抽尽需作多少功？解：如图，记深度为x到x+△x的一薄层水△Ω抽至池口需作功△W.当△x很小时，△Ω的体积为△V≈π(100-x2)△x，则△W≈dW=πgvx(100-x2)dx.其中v表示水的比重.∴将全部池水抽出池外需作的功为：W=πv1002)x001(xdx=2500πgv.8、长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？解：取铁索的一小段为微元，则有dW=8gxdx.∴将此铁索提出地面需作的功为：W=8g100xdx=400g(J).9、一物体在某介质中按x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度dtdx的平方成正比.计算物体由x=0移至x=a时克服介质阻力所作的功.解：依题意：阻力f(t)=k(dtdx)2=9kc2t4，(k为阻力系数)又t=3cx，∴x∈[0,a]时，t∈[0,3ca]取[0,3ca]中的一小段距离为微元，则有dW=f(t)dx=9kc2t4·3ct2dt=27kc3t6dt.∴物体由x=0移至x=a时克服介质阻力所作的功为W=3ca0f(t)dt=27kc33ca06tdt=727k3732ac.10、半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同.试问将球体从水中捞出需作多少功？(水的比重取1)解：如右上图建立直角坐标系，y轴在水面上.取球体的一水平薄层为微元，则有dW=g(2r-x)π[r2-(r-x)2]dx.∴将球体从水中捞出需作的功为：W=πg2r022]x)-(r-x)[r-(2rdx=34πgr4.