安徽农业大学期末考试试卷

1装订线安徽农业大学期末考试试卷（A卷）2015~2016学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．函数29lg()12xxy的定义域是。2．设2(arccos)1yx，则dy=。3．10lim(12)xxx。4．不定积分lnxxdx=。5．反常积分20xxedx=。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设()fx在(,)ab内连续，且0(,)xab，则在点0x处（）A．()fx的极限存在且可导B．()fx的极限存在但不一定可导C．()fx的极限不存在但可导D．()fx的极限不一定存在2．若()fx为(,)内的可导的奇函数，则'()fx为(,)内的（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．可能奇函数，可能偶函数得分得分23．若()fx连续，设220()()xgxftdt，则'()gx（）A．2(2)fxB．2(2)ftC．22(2)fxD．2()fx4．若xe是()fx的原函数，则()xfxdx（）A．(1)xexCB．(1)xexCC．(1)xexCD．(1)xexC5．下列曲线没有铅直渐近线的是（）A．221()(1)xfxxB．21()xfxeC．ln()xfxxxD．1()1xfxe三、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）1.求极限011()1limxxxe。2.讨论sin,0(),0xxfxxx在0x处的连续性和可导性。3.设参数方程ttxteye确定y是x的函数，求dydx和22dydx。得分1.5CM3装订线4．计算不定积分arcsinxdx。5．设方程22cos()yxyexy确定隐函数()yyx并满足(0)0y，求0'xy。6．试确定曲线32yaxbxcxd中的,,,abcd，使得2x处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上。7．计算定积分51115dxx。4四、解答题（本大题共3小题，第1、2小题4分，第3小题6分，共14分）1．证明不等式：当4x时，22xx。2．设()fx和()gx在[,]ab可导，且()()()()fafbgagb，证明：在(,)ab内至少存在一点c，使得'()'()fcgc。3.设1D由抛物线22yx和直线xa，2x及0y所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线xa及0y所围成的平面区域，其中02a。（1）试求平面区域1D与2D的面积之和；（2）试求1D绕x轴旋转而成的旋转体的体积1V；（3）试求2D绕y轴旋转而成的旋转体的体积2V；（4）问当a为何值时，1V2V取得最大值？试求此最大值。得分1.5CM5装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2015~2016学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．[4,5]2．212arccos.1xdxx3．2e4．322(ln)3xC5．12二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．B2．B3．C4．B5．D三、计算题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）1.求极限011()1limxxxe。解：011()1limxxxe01(1)limxxxexxe．．．．．．．．．．．．．．．．1分01=1limxxxxeexe．．．．．．．．．．．．．．．．4分0=limxxxxxeeexe．．．．．．．．．．．．．．．．6分1=2．．．．．．．．．．．．．．．．8分2.讨论sin,0(),0xxfxxx在0x处的连续性和可导性。解：因为00()sin0limlimxxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．1分00()0limlimxxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．2分而(0)0f，0()(0)limxfxf，故()fx在0x处连续。．．．．．．．．．．．．．．．．3分'00(0)(0)sin(0)limlim1xxfxfxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．5分'00(0)(0)(0)limlim1xxfxfxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．7分''(0)(0)ff，从而可导。．．．．．．．．．．．．．．．．8分1.5CM63.设参数方程ttxteye确定y是x的函数，求dydx和22dydx。解：21ttttdyeedxetet．．．．．．．．．．．．．．．．3分222()'1()'ttedytdxte．．．．．．．．．．．．．．．．5分2222(1)(1)ttttteetete．．．．．．．．．．．．．．．．7分33(32)(1)tett．．．．．．．．．．．．．．．．8分4．计算不定积分arcsinxdx。解：arcsinarcsinarcsinxdxxxxdx．．．．．．．．．．．．．．．．2分2arcsin1xxxdxx．．．．．．．．．．．．．．．．4分12221arcsin(1)(1)2xxxdx．．．．．．．．．．．．．．．．6分2arcsin1xxxC．．．．．．．．．．．．．．．．8分5．设方程22cos()yxyexy确定隐函数()yyx并满足(0)0y，求0'xy。解：方程两边对x求导，得222''sin()(12')yyxyyeyxyyy．．．．．．．．．．．．．．．．4分222sin()'22sin()yyxyyxyeyxy．．．．．．．．．．．．．．．．6分又0x，得0y，．．．．．．．．．．．．．．．．7分代入得0'=0xy．．．．．．．．．．．．．．．．8分7装订线6．试确定曲线32yaxbxcxd中的,,,abcd，使得2x处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上。解：2'32,yaxbxc．．．．．．．．．．．．．．．．1分''62,yaxb．．．．．．．．．．．．．．．．2分由题意得12406201084244abcababcdabcd．．．．．．．．．．．．．．．．6分解得1,3,24,16abcd．．．．．．．．．．．．．．．．8分7．计算定积分51115dxx。解：令5tx，则2dxtdt．．．．．．．．．．．．．．．．2分501212115tdxdttx．．．．．．．．．．．．．．．．4分20(1)121tdtt．．．．．．．．．．．．．．．．5分220012()1dtdtt．．．．．．．．．．．．．．．．6分202(ln|1|)tt．．．．．．．．．．．．．．．．7分2(2ln3)．．．．．．．．．．．．．．．．8分四、解答题（本大题共3小题，第1、2小题4分，第3小题6分，共14分）1．证明不等式：当4x时，22xx。证明：要证原不等式，只需证ln22lnxx设()ln22ln(4)fxxxx2'()ln2fxx．．．．．．．．．．．．．．．．1分当4x时，'()0fx，()fx在[4,)上单调增加．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以当4x时，()(4)fxf．．．．．．．．．．．．．．．．3分1.5CM8即ln22ln0xx，所以ln22lnxx，所以22xx．．．．．．．．．．．．．．．．4分2．设()fx和()gx在[,]ab可导，且()()()()fafbgagb，证明：在(,)ab内至少存在一点c，使得'()'()fcgc。解：设()()()Fxfxgx．．．．．．．．．．．．．．．．1分则()()0FaFb，()()()Fxfxgx在[,]ab内满足罗尔中值定理．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以在(,)ab内至少存在一点c，使得'()0Fc，．．．．．．．．．．．．．．．．3分即'()'()fcgc．．．．．．．．．．．．．．．．4分3．设1D由抛物线22yx和直线xa，2x及0y所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线xa及0y所围成的平面区域，其中02a。（2）试求平面区域1D与2D的面积之和；（2）试求1D绕x轴旋转而成的旋转体的体积1V；（3）试求2D绕y轴旋转而成的旋转体的体积2V；（4）问当a为何值时，1V2V取得最大值？试求此最大值。解：（1）22321200216233DDxdxx；．．．．．．．．．．．．．．．．1分（2）22222514(2)(32)5aaVydxxdxa；．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）22222224444202222aaayVaaxdyadyaaa；．．．．．3分（4）54124(32)5VVVaa，34(1)dVaada，．．．．．．．．．．．4分当1a时，0dVda，当10a时，0dVda，V单调增；．．．．．．．．．5分当1a时，0dVda，V单调减；则1a时V最大，且最大值为121295VVV.．．．．．．．．．．．．．．．．6分