概率论与数理统计-第5节-全概率公式与贝叶斯公式

目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式一、全概率公式§1.5全概率公式与贝叶斯公式目录上页下页返回结束一、全概率公式个是有物个白阄其中个阄设袋中有例,28,101.,,率求乙抓得有物之阄的概甲乙两人依次各抓一个之阄解，则乙抓得有物之阄，甲抓得有物之阄设BA)(AP,51102)(AP,54发生时，发生或只有在因为AAB才能发生，,AAB因此于是,)(ABBAAABB互不相容，而AA,也互不相容，与所以ABBA于是有)()(ABBAPBP)()(ABPBAP)()()()(ABPAPABPAP.51921089151目录上页下页返回结束一、全概率公式总结:;,)1(抓阄次序无关抓到有物之阄的概率与在抓阄中了式子：的过程中，关键是利用在求)()2(BP,)(ABBAAABB,AA和也就是借助了事件满足：和而AA,AA,AA是一个完备事件组。，于是称AA目录上页下页返回结束一、全概率公式定义个事件，且满足：是设nAAAn,,,21);,,2,1,;(,)1(njijiAAji;)2(21nAAA.,,,21上的一个完备事件组是样本空间则称nAAA注意.一的上的完备事件组是不唯样本空间目录上页下页返回结束一、全概率公式定理(全概率公式)设nAAA,,,21是样本空间的一个划分，则对于任意随机事件,B有1()()().niiiPBPAPBA证明因为nAAA,,,21是的一个划分，所以有12nAAA,ijAA,于是有BB12()nBAAA12;nBABABA由于,ijAA因此有()()ijBABA,于是有()PB12()nPBABABA)()()(21nBAPBAPBAP11()()PBAPA1()().niiiPAPBA22()()PBAPA()()nnPBAPA目录上页下页返回结束一、全概率公式说明：1.全概率公式是用于计算由若干“原因”引起的复杂事件概率的有效方法。2.利用全概率公式的判定准则为：若随机试验可以看成两个阶段进行，且第一阶段的试验结果是不确定的，要求的是第二阶段的结果发生的概率。3.利用全概率公式，至关重要的是如何选取适当的样本空间划分。一般地，可将第一阶段的所有可能结果作为样本空间的一个划分。定理(全概率公式)设nAAA,,,21是样本空间的一个划分，则对于任意随机事件,B有1()()().niiiPBPAPBA目录上页下页返回结束一、全概率公式,1生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40问它并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?是次品的概率是多少分析将此随机试验分为两个阶段进行：第一阶段是将甲乙丙三条流水线上的产品混在一起，并随机抽取一件；第二阶段是观察抽取的这件产品是否为次品。因为要求的是第二阶段的结果发生的概率，则用全概率公式解决。由于在第一阶段中有三种可能结果，因此样本空间的划分可以取这三个可能结果。即这件产品来自于甲、乙、丙流水线，目录上页下页返回结束一、全概率公式,1生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40问它并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?是次品的概率是多少解，抽到的产品是甲车间的设1B，抽到的产品是乙车间的2B，抽到的产品是丙车间的3B，抽到的产品是次品A是一个完备事件组，显然321,,BBB:于是由全概率公式目录上页下页返回结束一、全概率公式,1生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40问它并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?是次品的概率是多少解%;45.3()PA11()()PBPAB22()()PBPAB33()()PBPAB25%5%35%4%40%2%目录上页下页返回结束一、全概率公式名考生名和名、各假设有来自三个地区的例2515102份。现随机地份和份、是其中女生的报名表分别的报名表573,求先抽份并从中先后随机取出两取出一个地区的报名表(1),,求先生表已知后抽到的一份是男率到的一份是女生表的概,(2);.率到的一份是女生表的概解;3,2,1iiBi，地区的报名表是第令;2,1iiAi，次抽到女生表第是完备事件组，且于是321,,BBB1()PB23()()PBPB1,311()PAB3,1012()PAB7,1513()PAB5251;5目录上页下页返回结束一、全概率公式名考生名和名、各假设有来自三个地区的例2515102份。现随机地份和份、是其中女生的报名表分别的报名报573,求先抽份并从中先后随机取出两取出一个地区的报名表(1),,求先生表已知后抽到的一份是男率到的一份是女生表的概,(2);.率到的一份是女生表的概解51311573110331:)1(由全概率公式有.90291()PA111()()PBPAB212()()PBPAB313()()PBPAB目录上页下页返回结束一、全概率公式名考生名和名、各假设有来自三个地区的例2515102份。现随机地份和份、是其中女生的报名表分别的报名报573,求先抽份并从中先后随机取出两取出一个地区的报名表(1),,求先生表已知后抽到的一份是男率到的一份是女生表的概,(2);.率到的一份是女生表的概解)2(.9061.922()PA121()()PBPAB222()()PBPAB323()()PBPAB1371013815134512()PAA1121()()PBPAAB2122()()PBPAAB3123()()PBPAAB131093713151478132524520目录上页下页返回结束一、全概率公式名考生名和名、各假设有来自三个地区的例2515102份。现随机地份和份、是其中女生的报名表分别的报名报573,求先抽份并从中先后随机取出两取出一个地区的报名表(1),,求先生表已知后抽到的一份是男率到的一份是女生表的概,(2);.率到的一份是女生表的概解)2(.612090619212()PAA2()PA12()PAA目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式,3生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40若抽并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?,间的概率各是多少问这件次品是甲乙丙车到的一件是次品解，抽到的产品是甲车间的设1B，抽到的产品是乙车间的2B，抽到的产品是丙车间的3B，抽到的产品是次品A);(),(),(221ABPABPABP下面分别求目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式,3生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40若抽并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?,间的概率各是多少问这件次品是甲乙丙车到的一件是次品解);(),(),(221ABPABPABP下面分别求)(1ABP)()(1APABP)()(11BAPBP)()()()()()(332211BAPBPBAPBPBAPBP%5%25%2%40%4%35%5%25%;2.36目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式,3生产同一种产品一工厂有甲乙丙三车间例而产品的次品率分别每个车间的产量分别为%,25%,35%,40若抽并随机抽取一个现将这些产品混在一起为,,5%,4%,2%.?,间的概率各是多少问这件次品是甲乙丙车到的一件是次品解);(),(),(221ABPABPABP下面分别求:同理可求%;6.40)(2ABP%;2.23)(3ABP.间生产的概率最大因此抽到的次品是乙车目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式题发生的“原因”，则问看作是引起若将中在例ABBB321,,,3总结:变为321,,BBBAA发生的原因发生了，问引起若在试验中事件??性最大哪一个原因发生的可能的概率各是多少.,就是利用贝叶斯公式解决这类问题的方法目录上页下页返回结束•贝叶斯提供了关于概率论与数理统计最重要的工具之一。这个工具让我们对概率的研究能够进行更加艰巨的探索。如果我们知道一个事件发生的内在机制，那么我们计算着事件的概率是非常简单的。用基本的计算，我们能算出打扑克梭哈时，得到同花顺的概率，或者扔硬币时，连续5次都是正面的概率，再或者彩票中奖的概率。但更多时候，我们更关心把上述问题反过来的情况。我们不去计算基于知道发生机制的事件的概率，而是基于观察到的现象，想得到和了解不知道发生机制的事件的发生的可能性。目录上页下页返回结束•我们需要了解在一些情况下基于观测现象背后的关联性。比如医学（如果检测为阳性，患病的可能有多大？）、比如社会科学（基于历史数据，最好的解释通货膨胀与失业率之间关系的模型是什么？）、比如日常生活（如果女孩同意和我去另外一家酒吧，他对我有意思的可能性有多大？）。贝叶斯定理提供了一个形式化的工具，让我们能回答这些问题。当一种事情已经发生的条件下，定理让我们能计算这样的概率，当特定事件发生时，鉴于观测结果，基于我们把观测结果纳入特定事件看是否发生，这样能同时得到先前事件在特定事件下发生的可能性。贝叶斯定理是一个分析信息缘由的强大工具，它还是整个统计学思想的底层框架。目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式定理(贝叶斯公式)且上的一个完备事件组是样本空间设,,,,21nBBB有则对任意事件,,0)(ABPi;)()()()()()()()()(2211nniiiBAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP.率公式可证由条件概率公式和全概证明目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式定理(贝叶斯公式)且上的一个完备事件组是样本空间设,,,,21nBBB有则对任意事件,,0)(ABPi;)()()()()()()()()(2211nniiiBAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP说明：1.贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，引起这一复杂事件的某一种“原因”发生的概率。2.利用贝叶斯公式的判别准则：若随机试验可看成两个阶段进行，且第一阶段的试验结果是不确定的，但第二阶段某一个结果是已知的，要求此结果为第一阶段中某一个结果引起的概率。目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式.0.25%,5%4是色盲女子有是色盲已知男子中有例问此恰好是色盲群中随机挑选一人现从男女人数相等的人,,.人为男性的概率解，随机挑选一人为色盲设A,此人为男性B,此人为女性B构成一个完备事件组，则BB,:于是有,21)()(BPBP%,5)(BAP)(ABP因此%,25.0)(BAP)()(APABP)()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBP.2120目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式只假设各含只每箱玻璃杯成箱出售例21,0,,20,5在一顾客欲买一箱玻璃杯和次品的概率相应地为,0.1;0.10.8,,,,4,则买下该箱玻璃杯若无残次品只顾客随机地查看购买时在顾客买下的的概率求顾客买下该箱玻璃杯否则退回(2);.(1);,确实没有残次品的概率一箱玻璃杯中解，顾客买下该箱玻璃杯设A2,1,0iiBi，只残次品箱中恰有是的一个完备事件组，于是显然210,,BBB)(1BAP420419CC,54)(2BAP420418CC;19120()PB0.8,1()PB0.1,2()PB0.1,0()PAB1目录上页下页返回结束二、贝叶斯公式解:)1(由全概率公式有10121.0541.018.0;94