流体力学第三章.

第三章理想流体动力学基本方程理想流体：不计粘性切应力的运动流体一元流动：流动参数主要跟一个座标方向有关的流动本章讨论理想流体的基本方程及在一元流动中的基本应用流体动力学是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围固体物体的影响。流动参量：压力密度表面张力速度应力作用力粘度力矩动量能量流体运动学研究方法：从理想流体出发，推导其基本理论，再根据实际流体的条件对其应用加以修正。流场：流体占据的全部空间范围。经过管道或明渠的流场叫“管道流场”或“径流流场”；绕过物体的流场叫“绕流流场”流体运动学连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空间称为流场。由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。§3-1描述流体运动的两种方法拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。这种研究方法，最基本以研究个别流体质点的运动为基础；研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。tzwtyvtxu,,222222,,tzatyatxazyx设某质点的轨迹为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)速度：加速度：在理论力学中应用：拉格朗日法：流场有无数个质点，设其中某一质点t=0时的位置为（a,b,c），称为拉格朗日变数，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。将座标原点建在该质点，则对于任意的流体质点在t时刻：ttcbazwttcbayvttcbaxu),,,(,),,,(,),,,(222222),,,(,),,,(,),,,(ttcbazattcbayattcbaxazyx轨迹：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)速度：加速度：拉格朗日法欧拉法欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个固定空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t的函数，欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动参数（速度、压力、密度），并给出这些参数与空间点和时间的分布：速度：u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=w(x,y,z,t)压力：p=p(x,y,z,t)密度：ρ=ρ(x,y,z,t)欧拉法•速度分布设某个质点，t时刻位于（x,y,z），速度为：),,,(0tzyxV),,,(1ttzzyyxxVzzVyyVxxVttVVV01t+Δt时刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t+Δt),速度为：V0和V1的关系为加速度（质点导数）tVVlima)ot(01zzVyyVxxVttVVV01wtzvtyutxttt000lim,lim,limVVtVzVwyVvxVutVdtVda)(而注意到因此右边第一项为当地加速度，又称当地导数、时变加速度或局部加速度，后三项为迁移加速度，又称迁移导数、对流加速度。当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产生的。当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。两个加速度的物理意义：如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。图3-1中间有收缩形的变截面管道内的流动注意：流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点流体质点不断流过空间点空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。加速度的投影值：kajaiaazyxzuwyuvxuutuaxzvwyvvxvutvayzwwywvxwutwaz•定常流与非定常流概念：定常流动：非定常流动一元流动二元流动（平面流动）三元流动（空间流动）0t•例题jyxixyV)(2122)(21)(212222yxxxyxyxyyuvxuutuax)(21)()(21)(02222xyyyyxxxyyvvxvutvay)(21,22yxvxyu即★拉格朗日法可以描述流场中各个质点的运动轨迹和轨迹上运动参量的变化，但是流体具有易流动性，对每一个质点的跟踪十分困难。★欧拉法给出不同时刻流场中各个空间点的流动参量的分布，通过连续函数的理论对流场进行分析和计算；不注重各个质点的运动轨迹。欧拉法与拉格朗日法比较由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三。利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便的。欧拉法与拉格朗日法比较§3-2迹线、流线与流管1、迹线和流线迹线：空间某一流体质点的运动轨迹线例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。•流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。•迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线。烟火迹线彗星迹线流线:在固定时刻t,设流动空间中有某曲线,该曲线上每一点的切线都与该点的流体速度方向相同,则称此曲线称为流线。例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。•流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。•流线的引入是欧拉法的研究特点。在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。钝体后流线图汽车外部空气流线流线的性质:1.流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点速度的变化，流线密集的地方流动速度较大，流线稀疏的地方速度较小。2.对于定常流，流线的形状和位置不随时间而变化。3.定常流时，流线和迹线重合。4.流线不能相交，不能折转，只能是一条光滑曲线。图示为t时刻经过点0的流线,以及t时刻经过点0的迹线.对定常流动，迹线和流线重合。•迹线和流线的区别：•迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的；流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小的假象线。•迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间而变与质点无关。•迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流线重合。迹线方程质点速度：dtdzwdtdyvdtdxu故dtwdzdtvdydtudx或写成：dtwdzvdyudx称为迹线方程。流线方程设流线微段为:kwjviuVkdzjdyidxsdwdzvdyudx该点的流体速度为:因为,平行于，两矢量的分量对应成比例:sdV称为流线方程。*思考：和迹线方程的比较？例3-1已知u=-(y+t2)，v=x+t,w=02)4(xdyydx2211(2)(4)22zcxyc，求t=2，经过点（0，0）的流线解:t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0流线方程dz=0流线过点（0，0）∴c=10流线方程为(x+2)2+(y+4)2=20特例分析：对一平面不可压非定常流，速度分布为u=xt，v=-yt，分别求其流线和迹线方程。流线微分方程：dxdyuv0dxdyxtyt代入u，v分布积分，得1xyC当x=x0，y=y0时，可得C1=x0y0，所以过空间固定点（x0，y0）的流线方程为00xyyx由此可见，对于非定常流，流线的形状和位置也可能不随时间而变化。迹线方程为dxdydtuv代入u，v分布，得00dxdxdtxtxtdtdydydtytytdt积分，得221exp21exp2xAtyBt设t=t0时，x=x0，y=y0，可求得积分常数A，B，由以上两式消去参数t，即可得过点（x0，y0）的迹线方程为00xyyx由此可见，对本例中的非定常流，不同时刻过空间固定点（X0，y0）的流线与迹线是重合的。原因分析：用α表示空间点（x0，y0）处流体速度与x轴的夹角，则01100000,,tgtg,,vtyyxutyxx由此可见，虽然流速u，v既是空间坐标的函数，也是时间的函数，但速度的方向却只是空间坐标的函数，这就导致了其流线与迹线有与定常流相似的性质。流管和流束的概念流管:在一条封闭曲线上的每一点作流线,这些流线所围成的管状面称为流管.流束:流管内的运动流体称为流束.流管表面的流体速度与管表面相切，因此，没有流体质点会穿过流管表面。总流:工程上把由无数微小流束组成的流动称为总流。体积流量：单位时间内，流过某一曲面的流体体积称为该曲面的体积流量。AndAQAnmdAQ质量流量：单位时间内，流过某一曲面的流体质量称为该曲面的质量流量。流量要计算总流的流量，可以在总流中取一个横截面，则此横截面上的流量就是总流的流量。过流断面在流管内任取一微元面dA，过其上的每一点作流线，叫微元流束，如果dA与微元流束的每一根流线都正交，则dA叫做有效流通截面（过流断面、有效截面）。有效截面实际计算中，常采用过流断面来计算总流流量AdAQAmdAQ平均流速：流量与过流断面的面积之比。•平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。•将流动简化为一元时，可以简化工程实际问题，其前提是流动截面上的流速是均匀的。QVA根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若同一条流线各空间点上的流速相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。由此定义可知在均匀流中，流线是彼此平行的直线，过流断面（有效截面）是平面。如在等直径的直管道内的水流都是均匀流(图3-9)。注意在均匀流中各流线上的流速大小不定彼此相等．在非均匀流中，流线或者是不平行的直线，或者是曲线，如图3-10所示。一般非均匀流的过流断面（有效截面）是曲面。均匀流和非均匀流图3-9均匀流图3-10非均匀流非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种（图3-11）。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。显然，缓（渐）变流的流线的曲率半径r较大，流线之间的夹角β较小。因此，