§2.3-初等解析函数和多值函数(精)

§2.3初等解析函数和多值函数1、初等单值函数(1)幂函数,0,1,2nwzn幂函数在复平面上处处解析，同时可以证明多项式函数：01nnwaazaz也处处解析。而有理函数：除了点外解析。0101()()nnnnaazazPzwQzbbzbz()0Qz(2)指数函数(cossin)zxiyxweeeeyiy指数函数的性质：(i)0ze(ii)对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中的定义一致。(iii)1212zzzzeee(iv)指数函数处处解析，且：'zwe(v)2zikzee(vi)不存在。limzze证明：(iv)'0limzzzzeewz01limzzzeez0cossin1limzxzeeyiyz0111limzzexiyzze(3)三角函数11sin,cos22izizizizzeezeei性质：(i)正弦函数和余弦函数处处解析，且：sincoscos,sindzdzzzdzdz(ii)正弦函数为奇函数和余弦函数为偶函数，并遵循三角公式：22121212121212sincos1cos()coscossinsinsin()sincoscossinzzzzzzzzzzzzzz(iii)正弦函数和余弦函数以2为周期；(iv)sinz=0，则cosz=0，则,0,1,znn(1/2),0,1,znn(v)在复数域中，不能判定cos()1,sin()1zz证明：(ii)112211221212coscossinsin1144izizizizizizizizzzzzeeeeeeee1212121cos()2izzizzeezz2、初等多值函数(I)根式函数：,0,1,2nwzn根式函数的多值性例如：0023333niiwezre很显然，w与z的模一一对应，但幅角却不然，w的幅角有三个不同的值与z的幅角对应：3002,0,1,233rnn显然，对于同一个z值，有三个w与之对应，且三个值的幅角相差2/3。若规定，w只在I区域取值，则z的值域与w的I区域就建立起了一一对应的关系。而对于其反函数z=w3来说，在区域I，不同的w值对应于z平面上不同的z值，这样的区域I(0Arg(w)2/3)，称为z=w3的单叶性区域。同理，区域II和III也是z=w3的单叶区域，三个单叶区域再加上相邻处的端边称为根式函数的三个单值分支。(II)支点如图，在平面上任选一点z(r,)，则利用第一个单值分支得：0331iwre若让z(r,)按逆时针方向沿一闭合曲线连续变化，若曲线不包括原点，则连续改变的幅角回到原来的值，而w的值也回到w1。但如果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而是回到w2：023332iwre我们称z=0为的支点。3wz定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点为多值函数的支点。对于根式函数来说，原点和无穷远点是其两个支点。(III)支割线连接支点z=0和z=的任意一条射线，称为支割线。支割线将z平面割开，并规定z连续变化时不得跨越支割线，这就使得割开的z平面上任意闭合曲线都不包括原点，由此根式函数只在一个单值分支上取值。注：把一个多值函数划分为单值分支与支割线的选取密切相关，不同的支割线选取方式使得单值分支的区域定义也不相同。(IV)对数函数：Ln,0wzz2LnLnln2inwzrerin显然：(,)ln,(,)2uxyzvxyn很明显，对数函数是多值函数，一个z对应有无数个w，彼此的虚部差2的整数倍。若限定-Arg(z)很明显，即-v(x,y)，则z的对数只有一个取值，我们称之为ln(z)的主值支，记做：ln(z)。所以：lnln()wzriargz显然：Lnln2,0,1,wzzinn如在w平面上用平行于实轴的直线画出一个宽为2的条带，例如图中的I，则z与w为一一对应的关系。I为z=ew的单叶性区域。同样，对数函数也存在两个支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：lnln2kzrik而这无穷多个单值函数皆是解析函数。证明：()lnln2kfzzrik00ln2()limlimzzrikfzzxiy考虑极限：2200lnarctanlnlimlimzzyxyirixxiyxiy所以：'1(),0fzzz201limzxxyyiyxxyrxiy211xiyrxiyz0z对数运算法则：1212Ln()Ln()Ln()zzzz1212Ln(/)Ln()Ln()zzzz证明：1212()()11121222,iiiizrzzrrereerezr12Ln()ln()2zzrik1122Ln()Ln()Ln()zzzz1212ln()2rrik111222ln()2ln()2rikrik12Ln()Ln()zz例1：若a0，计算Ln(-a).解：Lnln2,0,1,wzzinn而：izaae所以：ln21,0,1,wainn例2：计算Ln(i).解：因为：/21izie所以：12,0,1,2winn例3：计算ii。解：Lniie所以：(2)(2)22,0,1iikkiieek因为：(III)反三角函数：Arcsin,Arccoswzwz由于：1()2iwiwzeei则：2210iwiweeiz则：21iweizz所以：221ArcsinLn11Ln12wzizzizzi同理，由反余弦函数得：21ArccosLn1wzzzi由于对数函数的多值性，显然反三角函数也是多值函数。