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中国科学院大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数解答：Eufisky(Xiongge)考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。————————————————————————————————————————一、(20分)设ai+bj̸=0,求以下矩阵的行列式值:A=0BBB@(a1+b1) 1(a1+b2) 1(a1+bn) 1(a2+b1) 1(a2+b2) 1(a2+bn) 1(an+b1) 1(an+b1) 1(an+bn) 11CCCA.解:以下解答摘自曹重光等人的《高等代数方法选讲》P6-7.将A的第一列乘以 1加到其余各列得jAj= 1a1+b1b1 b2(a1+b1)(a1+b2)b1 bn(a1+b1)(a1+bn)1a2+b1b1 b2(a2+b1)(a2+b2)b1 bn(a2+b1)(a2+bn)1an+b1b1 b2(an+b1)(an+b2)b1 bn(an+b1)(an+bn) .进行2n 1次倍法变换可得jAj=nÕi=2(b1 bi)nÕi=1(ai+b1) 11a1+b21a1+bn11a2+b21a2+bn11an+b21an+bn .再将上述行列式的第一行乘以 1加到其余各行得jAj=nÕi=2(b1 bi)nÕi=1(ai+b1) 11a1+b21a1+bn0a1 a2(a1+b2)(a2+b2)a1 a2(a1+bn)(a2+bn)0a1 an(a1+b2)(an+b2)a1 an(a1+bn)(an+bn) .再施行2(n 1)次倍法变换,然后按第一列展开得jAj=nÕi=2(b1 bi)(a1 ai)(a1+b1)nÕi=2(ai+b1)(a1+bi) 1a2+b21a2+bn1an+b21an+bn .考试科目：高等代数第1页共7页类似前面的方法,最终有jAj=(1a1+b1nÕi=2(b1 bi)(a1 ai)(ai+b1)(a1+bi))(1a2+b2nÕi=3(b2 bi)(a2 ai)(ai+b2)(a2+bi))(1an 2+bn 2nÕi=n 1(bn 2 bi)(an 2 ai)(ai+bn 2)(an 2+bi)) 1an 1+bn 11an 1+bn1an+bn 11an+bn =Õ1ijn(bj bi)(aj ai)nÕj=1nÕi=1(ai+bj).□二、(20分)已知二次型f(x1,x2,x3)=5x21+5x22+bx23 2x1x2+6x1x3 6x2x3的秩为2.(1)求b的值;(2)求一实正交变换,将上述二次型化为标准型,并求出标准型.解:(1)二次型f的矩阵为A=0@5 13 15 33 3b1A.作初等行变换有A=0@5 13 15 33 3b1A!0@ 15 35 133 3b1A!0@ 15 3024 12012b 91A!0@ 15 302 1012b 91A!0@ 15 302 100b 31A.由A的秩为2可知b=3.(2)对于该二次型的矩阵A=0@5 13 15 33 331A.而jlE Aj= l 51 31l 53 33l 3 =l(l 4)(l 9),故其特征值为0,4,9.对应于特征值0的特征向量为0@ 1121A.对应于特征值4的特征向量为0@1101A.对应于特征值9的特征向量为0@1 111A.分别将其单位化得到正交矩阵P=0B@ p66p22p33p66p22 p33p630p331CA.考试科目：高等代数第2页共7页令X=PY,其中Y=(y1,y2,y3)T,可将其化为标准形f=4y22+9y23.□三、(16分)矩阵A的n 1阶子式不全为零,给出齐次方程组Ax=0的一组解,并求方程所有的解,其中A=0BB@a11a11a1na21a22a2nan 1,1an 1,2an 1,n1CCA.解:设Mi,i=1,2,,n是在矩阵A中划去第i列所得到的n 1阶子式.构造一个行列式Di= ai1ai2aina11a12a1na21a22a2nan 1,1an 1,2an 1,n .显然Di=0,i=1,2,,n 1.将Di按第一行展开得Di=ai1M1 ai2M2++( 1)n 1ainMn,i=1,2,,n 1,从而(M1, M2,,( 1)n 1Mn)是方程组的一个解.又矩阵A的n 1阶子式不全为零且rank(A)n,故rank(A)=n 1,这时Ax=0的解空间的维数为n rank(A)=1.由于(M1, M2,,( 1)n 1Mn)是方程组的一个解,那么显然方程组Ax=0的解全是(M1, M2,,( 1)n 1Mn)的倍数.□四、(18分)V是n维线性空间，V1,V2是V的子空间,且dim(V1+V2)=dim(V1\V2)+1.求证:V1+V2=V1,V1\V2=V2或V1+V2=V2,V1\V2=V1.证明:由维数公式dim(V1+V2)=dimV1+dimV2 dim(V1\V2).由已知条件dim(V1+V2)=dim(V1\V2)+1.代入得1=dimV1+dimV2 2dim(V1\V2)=(dimV1 dim(V1\V2))+(dimV2 dim(V1\V2)).由V1\V2V1,V1\V2V2有dimV1 dim(V1\V2)0,dimV2 dim(V1\V2)0.那么dimV1 dim(V1\V2)和dimV2 dim(V1\V2)必有一个为1,另一个为0,不妨设dimV1 dim(V1\V2)=1,dimV2 dim(V1\V2)=0,考试科目：高等代数第3页共7页那么有dimV1=dim(V1\V2)+1=dim(V1+V2).显然有V1V1+V2,那么可得V1=V1+V2.另外,由V1\V2V2且dimV2=dim(V1\V2)可得V2=V1\V2.参考王品超《高等代数新方法》上册P403.□五、(16分)证明与n阶若当块J=0BBBB@l1l......1l1CCCCA可交换的矩阵必为J的多项式.证明:设J=lE+C,B与J可交换,其中C=0BBBB@01.........101CCCCA,则JB=BJ,BC=CB.设B=(bij),则由BC=CB可得B=0BBBB@b11b12b1n............b12b111CCCCA,即bii=bjj,bij=bi+1,j+1,ij.设f(x)=b11+b12(x l)+b13(x l)2++b1n(x l)n 1,则f(l)=b11,f′(l)=b12,,f(k)(l)=k!b1,k+1,,f(n 1)(l)=(n 1)!b1n,因此B=0BBBBBBBB@f(l)f′(l)12!f′′(l)1(n 1)!f(n 1)(l)f(l)f′(l)............12!f′′(l)...f′(l)f(l)1CCCCCCCCA=f(J)是J的多项式.参考王品超《高等代数新方法》上册P233.□考试科目：高等代数第4页共7页六、(15分)n阶方阵A的每行每列恰有一个元素为1或 1,其余元素均为零.证明存在正整数m使得Am=E,其中E为单位矩阵.证明:由条件知jAj̸=0,又A,A2,,Ak,均具有A的性质,然而满足这个条件的矩阵只有有限个,因而存在ij使得Ai=Aj,所以Aj i=E,取m=j i即可.参考王品超《高等代数新方法》上册P160.□七、(15分)设A是两个n阶复矩阵,定义Mn(C)上的线性变换T(X):=AX XA.A的特征值为l1,l2,,ln(不考虑重根).证明T的特征值必可写成li lj(1i,jn)的形式.证明:取Mn(C)的基为e11=0BB@1000000001CCA,,e1n=0BB@0010000001CCA...en1=0BB@0000001001CCA,,enn=0BB@0000000011CCA显然A可对角化,所以存在可逆阵T,使得T 1AT=0B@l1...ln1CA.而TeijT 1,i,j=1,2,,n仍为基,有T(TeijT 1)=ATeijT 1 TeijT 1A=T2640B@l1...ln1CAeij eij0B@l1...ln1CA375T 1=(li lj)(TeijT 1),故T在基Te11T 1,,Te1nT 1,,Ten1T 1,,TennT 1下的矩阵为0BBBBBBBBBBBBBBBBB@0l1 l2...l1 ln...ln l1ln l2...ln ln 101CCCCCCCCCCCCCCCCCA.这表明T为Mn(C)上的一个可对角化的线性变换,且特征值必可写成li lj(1i,jn)的形式.参考王品超《高等代数新方法》上册P411.□考试科目：高等代数第5页共7页八、(15分)设A,B是两个n阶复矩阵,如果AB BA=2B.证明:(1)存在n维列向量u和常数m,使得Au=mu和Bu=0;(2)A,B同时可上三角化.证明:(1)先证明B是的特征值全为零.注意到(2B)k=(2B)k 1AB (2B)k 1BA=2k 1[(Bk 1A)B B(Bk 1A)],因此tr(2B)k=0,即trBm=0对任意的正整数k成立.假设B的特征值为l1,l2,,ln,则Bk的特征值为lk1,lk2,,lkn,从而对任意的正整数k,有lk1+lk2++lkn=0.现考察前n个等式,即sk=0,k=1,2,,n.因此sk=1k!0BBBBB@s1100s2s120............sk 1sk 2sk 3k 1sksk 1sk 2s11CCCCCA=0,k=1,2,,n从而li为多项式xn的根,于是l1=l2==ln=0.记C=AB BA=2B,则有CA AC=2BA 2AB= 2C.下面证明A和C必有公共的特征向量.假设A和C没有公共的特征向量,那么设x是A的特征向量,即Ax=lx.因此(CA AC)x= 2Cx)((l+2)E A)Cx=0.这里Cx̸=0,否则x就是A和C的公共特征向量了,所以A有特征值l+2.同理A也应该有特征值l+4.如此论证下去,A会有无穷多个特征值,这不可能,所以A和C必有公共的特征向量,记作u.对于特征向量u,存在与矩阵A对应的特征值m,使得Au=mu,并且与矩阵B对应的特征值0,使得Bu=0u=0.(2)把u开拓为整个空间的一组基,A,C的矩阵形如A=(m0A1),C=(h0C1),那么C1A1 A1C1= 2C1.由数学归纳法可知A和C能同时可上三角化.又C=2B,故A和B也能同时可上三角化.参考Xida的书《高等代数葵花宝典》旧版P20和姚慕生、谢启鸿《高等代数》学习指导书第三版P278.□九、(15分)设多项式g(x)=pk(x)g1(x)(k1),多项式p(x)与g1(x)互素.证明:对任意多项式f(x)有f(x)g(x)=r(x)pk(x)+f1(x)pk 1(x)g1(x),其中r(x),f1(x)都是多项式,r(x)=0或r(x)的次