极坐标系

坐标系：就是一个参照系，它是实现几何和代数形式互相转化的基础。实数x数轴的点有序实数（x,y)平面直角坐标系的点有序实数对(x,y,z)空间直角坐标系的点以人民路为X轴以番禺路为Y轴...请问：去连州汽车站怎么走？以人民路为X轴以番禺路为Y轴...精神病！以人民路为X轴以番禺路为Y轴...精神病！从这向南2000米。请问：去连州汽车站怎么走？QQ:261772045E-mail：[e-mail]60°60m45°C图书馆D实验楼50m120mB体育馆A教学楼办公楼E右图为某校园的平面示意图。假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北60°方向走120m后到达什么位置？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？办公楼E从这里向南走2000米就到了请问：去西华三高怎么走？问路人好心人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向南走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XOM二、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。XOM题组一：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。想一想？三、点的极坐标的表达式的研究XOM如图：OM的长度为4，4请说出点M的极坐标的其他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。点M的极坐标统一表达式：π42kπ+4，极径相同，不同的是极角(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3ABCDEFG题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342ABCDEFGOX(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3ABCDEFG四、负极径说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点M（，）负极径时的规定：[1]作射线OP，使XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=OXPM1.负极径的定义OXP=/4M2.负极径的实例在极坐标系中画出点M的位置.[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3(3,)4(3,)4说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：ABCDEOX261211122323453、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？4、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使OM=3[1]作射线OP，使XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使OM=3M画出点（3，/4）和（－3，/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M5、负极径的实质从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径小结：极径变为负，极角增加。练习：写出点的负极径的极坐标（6，）6答：（－6，+π）6或（－6，－+π）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥0。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：423k，[2]极径是负的时候：)423k，（2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组三1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()6A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)6665653.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是（)6A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)656665A4.(1)(2)2QPPQOPQ已知点（,),分别按下列条件求出点的极坐标。是点关于极点的对称点；是点关于直线＝的对称点。(1)(－ρ,θ)(2)(－ρ,－θ)或(ρ,π-θ)（3）(ρ,－θ)极轴呢？[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）四、课堂练习ABO2.已知三点的极坐标为,则为()A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、等腰直角三角形)310,5(、A)38,5(D)34,5(M1.已知极坐标,下列所给出的不能表示点M的坐标的是())32,5(、B),43,2(),2,2(BACD)3,5(、C)0,0(O平面内一点P的直角坐标是，其极坐标如何表示?点Q的极坐标为，其直角坐标如何表示？)1,3(思考？)32,5(),235,25(Q答案：)6,2(P三、极坐标与直角坐标的互化公式)0(tan,222xxyyx直化极：sin,cosyx极化直：例3：互化下列直角坐标与极坐标直角坐标极坐标)3,3()1,3()0,5(直角坐标极坐标)6,4()2,1(),3()2,32()1,0()0,3()65,32()67,2()0,5(2、已知极坐标系中两点如何求线段|PQ|的长？19||PQ),2,2(Q推广：极坐标系内两点的距离公式：),(),,(2211QP)cos(2|PQ|21212221探索？1、极坐标系中点的对称关系?关于极轴所在直线对称的点为,,,,关于极点对称的点为,(3,)6P1、在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是______，|AB|=。365ABOx四、拓展：541203（2）在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；)3,3(（3）在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点，则顶点C的坐标是＿＿＿＿＿＿。)45,2(),4,2(BA3,32、已知极坐标系中两点，如何求线段|PQ|的长？)6,3(P),2,2(Q推广：极坐标系内两点的距离公式：),(),,(2211QP)cos(2|PQ|2121222119||PQ探索？1、极坐标系中点的对称关系?3、极坐标与直角坐标的互化公式小结1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,0