直线平行的条件习题

学科：数学教学内容：探索直线平行的条件【基础知识精讲】本单元主要学习与探索两条直线平行的条件、同位角、内错角、同旁内角的概念以及识别．在经历观察、操作、想像、推理、交流的学习过程中，要求进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理的表达能力．【重点难点解析】本单元的重点是三线八角的基本图形、同位角、内错角、同旁内角的特征、两直线被第三条直线所截的两种情形．1．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念；2．能判断哪些角是同位角、内错角、同旁内角；3．掌握两条直线平行的判定方法．（掌握好判断同位角、内错角、同旁内角的方法）同位角、内错角、同旁内角的概念和两条直线平行的判定方法是平面几何的重要内容之一，也是中考的重要内容之一．如图所示，直线l与直线a、b相交，形成了8个角，其中的∠1和∠5这样位置的一对角是同位角，∠3和∠5这样位置的一对角是内错角，∠4和∠5这样位置的一对角是同旁内角．在图中，同位角还有：∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7；内错角还有：∠4和∠6；同旁内角还有：∠3和∠6．要准确理解同位角、内错角、同旁内角的定义，首先要抓住这三类角的异同．它们的共同点是：它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角中“顶点不同”的角，每个角都有一条边在同一条直线（第三条直线）上，另一条边分别在两条直线（第一、第二条直线）上．它们的区别是：同位角是在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”（同旁）；内错角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“两侧”（错开）；同旁内角是在两条直线“之间”（内），第三条直线“同侧”（同旁）．其次还要识别这三类角是哪两条直线，被什么样的第三条直线所截而成的，关键是要找准截线．另外，还要能从复杂的图形中分离出这三种角的基本图形，从而准确辨别这些角．平行线的判定方法：（关键是要打准截线）（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【难题巧解点拨】例1如图，∠1和∠4是什么角?由哪两条直线被什么样的第三条直线所截?∠2和∠3呢?∠2和∠4呢?∠1和∠A呢?∠A和∠2呢?解：∠1和∠4是AB、CD被BD所截得的内错角；∠2和∠3是AD、BC被BD所截得的内错角；∠2和∠4是BC、CD被BD所截得的同旁内角；∠1和∠A是AD、BD被AB所截得的同旁内角；∠A和∠2不是两条直线被第三条直线所截而成的角，所以它们不是同位角、内错角，也不是同旁内角．注识别同位角、内错角、同旁内角的关键是找出三条直线（刚好是需要识别的两个角的边所在的直线），并确定哪一条是截线．例2如图，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对?思路分析抓住同旁内角的定义，分类计数．解：把所给的图形分解成如下4个基本图形：（每条直线都有可以作为截线）（只有CD能作为截线）那么，图1中有同旁内角2×3＝6对，图2中也有同旁内角2×3＝6对．图3中有同旁内角2对，图4中有同旁内角2对，所以共有同旁内角6＋6＋2＋2＝16对．注从复杂的图形中分解出我们讨论问题需要的简单图形，是常用的方法．例3如图，已知AC平分∠DAB，∠BAC＝∠ACB，那么AD与BC平行吗?请写出推理过程．思路分析要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例4如图，根据下列条件：∠A＝∠AOD，∠ACB＝∠F，∠BED＋∠B＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的依据．解：要判定两条直线平行，首先要识别每小题中给出的角是哪两条直线被第三条直线截得的角，然后根据平行线的判定定理，就可解决问题，推理过程如下：∵∠A＝∠AOD（已知），∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）．∵∠ACB＝∠F（已知），∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行）．∵∠BED＋∠B＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．（判定两直线平行的关键是分析清楚是哪两条直线被第三条直线所截，得到什么样的两个角。）例5如图，直线a、b被直线c所截，∠2是∠1的3倍，∠3是∠1的余角，求证：a∥b．证明：由图可知，要证明a与b平行，只要证明∠1＝∠3或∠2与∠3互补．∵3∠1＝∠2，∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝45°，又∵∠3是∠1的余角，∴∠3＝90°－45°＝45°，∴∠1＝∠3，∴a∥b．（同位角相等，两直线平行）注同学们不妨试一下利用证明∠2与∠3互补来证明a∥b．例6对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b，②b∥c，③a∥c，④a⊥b，⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成你认为正确的题目．思路分析本题要求以五个论断中的两个为条件，一个为结论，组成正确的题目，也就是让我们自己来编一些题目．在做这样的题目时，我们可以将五个论断两两组合，然后看每一种组合能否推出余下的论断，若能，就得到一个正确的题目．解：可以写出如下题目：（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）若a∥b，a∥c，则b∥c．（（1）、（2）、（3）其实是平行线的传递性）（3）若b∥c，a∥c，则a∥b．（4）若b∥c，a⊥b，则a⊥c．（5）若b∥c，a⊥c，则a⊥b．（6）若a⊥b，a⊥c，则b∥c．（垂直于同一条直线的两条直线平行）注本题在解答过程中容易遗漏，同学们可以按分析中的方法，先确定两个论断作为条件，共有10组，然后看是否能推出余下的论断．【典型热点考题】例1下列命题中，不正确的是()A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(1999年，西安)点悟：采用直接法，回忆两条直线平行的条件，可获得答案．解：∵两条直线被第三条直线所截，有两种情形：1．两条相交直线被第三条直线所截；2．两条平行直线被第三条直线所截．在选项C中条件不全，所以C不正确．故应选C．点拨：仔细审题是正确解题的关键．本题的题干是“下列命题中，不正确的是”．看准“不正确”三个字十分重要!例2如图2—14，直线AB、CD被EF所截，∠1=50°，∠2与∠3是同旁内角，且互为补角，求∠1的同位角的度数．点悟：图2—14，这就是“三线八角”的基本图形。∵∠1=50°，∴∠2=50°。如果能找出∠2=∠4，则问题可解．如何找∠2=∠4？——分析图形是关键．解：∵∠1与∠2是对顶角．∴∠1=∠2．又由∠2与∠3互补，∠3与∠4互补，根据同角的补角相等，有∠2=∠4．∴∠4=∠1=50°．点拨：本题涉及到同位角、对顶角、同旁内角、互为补角等概念，所以应充分联想和综合思考．例3如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB∥CD吗?AC∥BD吗?为什么?点悟：如何判断AB∥CD，AC∥BD?——合理的思维起点是从已知的等角、补角出发，寻求它们的内错角或同位角相等．解：AB∥CD，AC∥BD．理由：∵∠3+∠4=180°，∠2+∠3=180°，∴∠2=∠4．因为根据同位角相等，两直线平行，所以AB∥CD．∵∠1=∠2，∴∠1=∠4．因为内错角相等，两直线平行，所以AC∥BD．点拨：解题关键是仔细观察图形，尽量从图形中寻找有效解题信息，如∠3+∠4=180°就是从图形中观察所得，再结合∠2+∠3=180°，故可推得∠2=∠4，等等．例4平面上有10条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现31个交点．怎样安排才能办到?点悟：我们先从极端情形考虑：平面上的10条直线，如果两两相交，最多可以出现452910个交点．而题中只要求出现31个交点，这就启发我们一定有平行线的情形出现．我们再采取逐步调整的方法，可以达到目的．解：在某一方向上有5条直线互相平行，则减少10个交点，若有6条直线平行，则可减少15个交点．所以在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉．转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点．这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行．如图2—16所示．点拨：本题属于操作题型，解题关键是：先考虑极端情形；再考虑题中条件，用逐步调整法解决问题．例5已知直线a、b、c在同一平面内，a∥b，a与c相交于p，那么b与c也一定相交．请说明理由．点悟：如何说明“b与c也一定相交”呢?——直接说明有困难，那么我们运用逆向思维，从问题的反面入手，也就是：假定b与c不相交，即b∥c，再想办法推导出矛盾，说明假设不成立，从而说明原结论成立．解：假定b与c不相交，即平行，b∥c．∵a∥b(已知)，∴a∥c(平行公理的推论)．这与a与c相交于p矛盾，故假设不成立．∴b与c一定相交．点拨：本题有一定思维难度．上述证明方法是反证法．【同步达纲练习】一、选择题1．图2—17中，同旁内角共有()A．4对B．3对C．2对D．1对2．如图2—18所示，同位角共有()A．1对B．2对C．3对D．4对3．图2—19中，∠1，∠2是对顶角的是()4．三条直线交于一点，总共有对顶角()A．六对D．五对C.四对D．三对5．下列说法正确的是()A.若两个角相等，则这两个角是对顶角B．若两个角是对顶角，则这两个角相等C.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等D．顶点相同并且相等的两个角是对顶角6．两条直线被第三条直线所截，如果所成8个角中有一对内错角相等，那么()A．8角均相等B．只有这一对内错角相等C.凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角也相等D．凡是内错角的两角都相等，凡是同位角的两角都不相等7．图2—20中，∠1和∠2是同位角的是()8.如图2—21，下列说法中正确的是()A．因为∠2=∠4，所以AD∥BCD．因为∠BAD+∠D=180°，所以AD∥BCC．因为∠1=∠3，所以AD∥BCD．因为∠BAD+∠B=180°，所以AB∥CD9.如图2—22，∠1=∠2，那么()A.∠3与∠4的平分线平行B．∠3与∠4的平分线相交C．∠3与∠4的平分线相交或平行D．以上答案都不对10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度可以是()A.第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C.第一次向左拐40°，第二次向左拐140°D.第一次向右拐40°，第二次向右拐40°二、填空题1．如图2—23，直线AB、CD相交于点O，∠1-∠2=70°，则∠BOD=________，∠2=________.2．如图2—24，直线AB、CD相交于点O，(DE平分∠AOC，∠AOD-∠DOB=50°，则∠EOB=_________度．3．如图2—25，(1)因为∠A=∠3，可得______∥_______理由是______；(2)因为∠2=________，所以AC∥_______，理由是_________；(3)因为∠5=________________，所以EF∥________，理由是_________；(4)因为∠5=________，所以BC∥________，理由是________.4．如图2—26，当∠_________=∠________时，AD∥BC．5．若a⊥b，且b∥c,则a与c的位置关系是________，即a________c6．如图2—27，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则_________∥________.7．如图2—28中．(1)直线AD、EC被第三条直线BE截得的∠1和∠2是_____.如果∠1=∠2，那么_____∥_____()．(2)∠3和∠